Отрезок АВ НЕ пересекается с плоскостью альфа. через концы отрезка АВ и его середину$точкуМ$ проведены...

a) Для доказательства того, что точки А1, В1, М1 лежат на одной прямой, можно воспользоваться теоремой о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Поскольку прямые проходят через концы отрезка АВ и его середину, они будут параллельны и, следовательно, точки их пересечения с плоскостью альфа $А1,В1,М1$ будут лежать на одной прямой.

б) Для нахождения длины отрезка АА1 можно воспользоваться теоремой о средней линии в треугольнике. Согласно этой теореме, длина средней линии равна половине суммы длин двух параллельных сторон треугольника. Таким образом, если ВВ1 = 12 см и ММ1 = 8 см, то АА1 = $12+8$ / 2 = 10 см.

Для решения этой задачи, рассмотрим каждый пункт отдельно:

а) Доказательство, что точки $A_1$, $B_1$, и $M_1$ лежат на одной прямой

1. Построение и основные свойства:

   • Пусть отрезок $AB$ не пересекается с плоскостью $\alpha$.
   • Через точки $A$ и $B$ проведем прямые $A{A}_1$ и $B{B}_1$, соответственно, такие, что $A{A}_1\parallel B{B}_1$ и эти прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $B_1$.
   • Аналогично, через середину отрезка $M$ проведем прямую $M{M}_1$, которая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M_1$.

2. Параллельность прямых:

   • По условию, прямые $A{A}_1$, $B{B}_1$, и $M{M}_1$ параллельны.
   • Поскольку все три прямые параллельны между собой и пересекают одну и ту же плоскость $\alpha$, их точки пересечения с плоскостью будут лежать на одной прямой в этой плоскости. Это следует из теоремы о пересечении параллельных прямых с плоскостью: если три параллельные прямые пересекают одну и ту же плоскость, то их точки пересечения лежат на одной прямой.

Таким образом, точки $A_1$, $B_1$, и $M_1$ лежат на одной прямой в плоскости $\alpha$.

б) Вычисление длины $A{A}_1$, если $B{B}_1=12$ см и $M{M}_1=8$ см

1. Положение точки $M$:

   • Точка $M$ — это середина отрезка $AB$.
   • Поскольку $M$ — середина, то $AM=MB$.

2. Пропорциональность отрезков:

   • Прямые $A{A}_1$, $B{B}_1$, и $M{M}_1$ параллельны, поэтому точки $A_1$, $B_1$, и $M_1$ на одной прямой будут делить отрезки $A{A}_1$, $B{B}_1$, и $M{M}_1$ в одной и той же пропорции.
   • Точка $M$ делит $AB$ пополам, следовательно, точка $M_1$ будет делить отрезок $A_1{B}_1$ в той же пропорции, что и $M$ делит $AB$.

3. Пропорции и вычисления:

   • Пусть длина $AB=2x$, тогда $AM=MB=x$.
   • Поскольку $M$ середина $AB$, аналогично $M_1$ будет середина $A_1{B}_1$.
   • По условию задачи, $B{B}_1=12$ см и $M{M}_1=8$ см.

4. Отношения длины отрезков:

   • Так как $M$ середина $AB$, $M_1$ середина $A_1{B}_1$, то длины отрезков также будут делиться в пропорции $1:2$, то есть $M{M}_1=\frac{1}{2}B{B}_1$.
   • Проверим эту пропорцию: $M{M}_1=8$ см, $B{B}_1=12$ см. Действительно, $M{M}_1=\frac{1}{2}B{B}_1=\frac{1}{2}\times 12=6$ см.

   Однако нам дано $M{M}_1=8$ см, значит, ошибка в проверенной пропорции. Следовательно, $M{M}_1$ должно быть среднее арифметическое между $A{A}_1$ и $B{B}_1$.

5. Вычислим длину $A{A}_1$:

   • Среднее арифметическое $A{A}_1$ и $B{B}_1$ дает $M{M}_1=\frac{A{A}_1+B{B}_1}{2}$.
   • Подставим известные значения: $8=\frac{A{A}_1+12}{2}$.
   • Умножим обе стороны на 2: $16=A{A}_1+12$.
   • Решаем уравнение: $A{A}_1=16-12=4$ см.

Ответ: $A{A}_1=4$ см.