Отрезки МК и РТ являются диаметрами двух окружностей с общим центром О. Докажите, что прямые МТ и РК...

Для доказательства того, что прямые МТ и РК параллельны, рассмотрим данную конфигурацию на плоскости.

1. Поскольку отрезки МК и РТ являются диаметрами окружностей с общим центром О, точка О делит каждый из этих отрезков пополам. Таким образом, О – середина МК и О – середина РТ.

2. Рассмотрим углы, которые образуются при пересечении прямых МТ и РК. Так как О – центр окружности, то ∠MOT и ∠ROK – прямые углы (по свойству радиуса, перпендикулярного касательной в точке касания; хотя здесь речь идет о диаметрах и перпендикулярности касательных, можно применять аналогичное рассуждение, так как диаметр делит окружность на две равные части и перпендикулярен любой хорде, проходящей через центр).

3. Поскольку О делит пополам диаметры МК и РТ, точки М и Р, Т и К являются диаметрально противоположными точками на окружностях. Это значит, что прямые МТ и РК являются прямыми, проходящими через диаметрально противоположные точки окружности.

4. Отсюда следует, что прямые МТ и РК перпендикулярны радиусам ОМ и ОТ, ОР и ОК соответственно. Поскольку радиусы ОМ и ОР, а также ОТ и ОК параллельны (как диаметры, делённые пополам точкой О), то прямые, перпендикулярные параллельным прямым, также будут параллельны.

Исходя из этих соображений, прямые МТ и РК параллельны.

Для доказательства того, что прямые МТ и РК параллельны, рассмотрим треугольники MOK и ROT.

Поскольку отрезки МК и РТ являются диаметрами окружностей с общим центром О, то углы МОК и РОТ прямые (90 градусов).

Таким образом, у нас есть две прямые МО и РО, а также у нас есть общая сторона ОК. Исходя из этого, треугольники MOK и ROT подобны (по признаку углов).

Поскольку угол МКО равен углу ТОР (как вертикальные углы), то углы МКО и ТОР также равны. Это означает, что прямые МТ и РК параллельны (по свойству параллельных прямых при пересечении).

Таким образом, прямые МТ и РК параллельны, и это доказано.