Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, являющеся середино каждого из них. Докажите, что: а)треугольники...

а) Треугольники AOD и BOC равны, так как у них равны стороны AO = OD и BO = OC (так как O - середина отрезков AB и CD), и углы AOD и BOC являются вертикальными углами; б) Угол DAO = углу CBO, так как они являются вертикальными углами.

a) Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Точка O является серединой отрезков AB и CD, следовательно, AO = OD и CO = OB. Также, по условию, отрезки AB и CD пересекаются в точке O.

Из этого следует, что треугольники AOD и BOC равны по стороне (AO = OD, CO = OB) и общему углу (углу AOD = углу BOC), а значит, они равны по двум сторонам и углу между ними.

б) Теперь рассмотрим угол DAO и угол CBO. Так как треугольники AOD и BOC равны, то угол AOD равен углу BOC. Но угол AOD равен углу DAO (так как точка O является серединой отрезка AD), следовательно, угол DAO равен углу CBO.

Таким образом, угол DAO равен углу CBO.

Давайте рассмотрим задачу и докажем оба утверждения.

Условие:

Отрезки ( AB ) и ( CD ) пересекаются в точке ( O ), которая является серединой каждого из этих отрезков.

Доказательство:

1. Докажем, что треугольники ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) равны.

   Поскольку ( O ) является серединой отрезка ( AB ), то ( AO = BO ).

   Поскольку ( O ) является серединой отрезка ( CD ), то ( CO = DO ).

   Заметим, что ( \angle AOD = \angle BOC ) (это вертикальные углы, которые всегда равны).

   Теперь у нас есть две пары равных сторон и одна пара равных углов между ними:

   • ( AO = BO )
   • ( \angle AOD = \angle BOC )
   • ( DO = CO )

   По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (сторона-угол-сторона, SAS), треугольники ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) равны.

2. Докажем, что угол ( \angle DAO = \angle CBO ).

   Поскольку мы уже доказали, что треугольники ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) равны, это означает, что все соответствующие элементы этих треугольников равны.

   В частности, это означает, что соответствующие углы этих треугольников также равны. Следовательно, углы ( \angle DAO ) и ( \angle CBO ) равны.

Таким образом, мы доказали оба утверждения:

• треугольники ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) равны;
• угол ( \angle DAO = \angle CBO ).