Острый угол параллелограмма равен 60о, а его площадь равна 4√3, меньшая диагональ равна 3. Найдите большую...

Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, давайте сначала разберёмся с имеющейся информацией и используем свойства параллелограмма.

1. Дано:

   • Острый угол параллелограмма ( \alpha = 60^\circ ).
   • Площадь параллелограмма ( S = 4\sqrt{3} ).
   • Меньшая диагональ ( d_1 = 3 ).

2. Формула площади параллелограмма: Площадь ( S ) параллелограмма с углом ( \alpha ) между сторонами ( a ) и ( b ) вычисляется как: [ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) ]

   Подставим известные значения: [ 4\sqrt{3} = a \cdot b \cdot \sin(60^\circ) ] [ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ 4\sqrt{3} = a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ a \cdot b = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8 ]

3. Формула для диагоналей параллелограмма: Формулы для диагоналей ( d_1 ) и ( d_2 ) параллелограмма выражаются как: [ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)} ] [ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos(\alpha)} ]

4. Находим ( a^2 + b^2 ): Используя уравнение для ( d_1 = 3 ): [ 3 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^\circ)} ] [ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ] [ 3 = \sqrt{a^2 + b^2 - ab} ] [ 9 = a^2 + b^2 - ab ]

5. Решаем систему уравнений: У нас есть два уравнения: [ a \cdot b = 8 ] [ a^2 + b^2 - ab = 9 ]

   Подставим ( b = \frac{8}{a} ) в уравнение для ( a^2 + b^2 - ab ): [ a^2 + \left(\frac{8}{a}\right)^2 - a\left(\frac{8}{a}\right) = 9 ] [ a^2 + \frac{64}{a^2} - 8 = 9 ] [ a^2 + \frac{64}{a^2} = 17 ]

   Умножим всё на ( a^2 ): [ a^4 + 64 = 17a^2 ] [ a^4 - 17a^2 + 64 = 0 ]

   Обозначим ( x = a^2 ), тогда уравнение примет вид: [ x^2 - 17x + 64 = 0 ]

   Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 64}}{2} ] [ x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 256}}{2} ] [ x = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{2} ]

   ( a^2 ) и ( b^2 ) будут равны этим корням. Для дальнейших вычислений используйте ( a^2 ) и ( b^2 ).

6. Найдем большую диагональ ( d_2 ): [ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos(60^\circ)} ] [ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + ab} ]

   Мы уже знаем: [ a^2 + b^2 = 17 ] [ ab = 8 ]

   Подставим: [ d_2 = \sqrt{17 + 8} = \sqrt{25} = 5 ]

Таким образом, большая диагональ параллелограмма равна 5.

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойствами геометрических фигур.

Площадь параллелограмма равна произведению длин его диагоналей, деленному на 2. Таким образом, мы можем записать уравнение:

Площадь = (большая диагональ меньшая диагональ sin(угол между диагоналями)) / 2

4√3 = (большая диагональ 3 sin(60°)) / 2

Учитывая, что sin(60°) = √3 / 2, мы можем продолжить уравнение:

4√3 = (большая диагональ 3 √3 / 2) / 2

4√3 = (3 * большая диагональ) / 2

8 = 3 * большая диагональ

Большая диагональ = 8 / 3 = 2.67

Таким образом, большая диагональ параллелограмма равна 2.67.