Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2 см, а его...

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого основанием служит квадрат. Пусть размеры параллелепипеда будут (a), (a) и (2a), где (a) — сторона квадрата основания.

Найдём измерения параллелепипеда

1. Диагональ параллелепипеда

   Диагональ прямоугольного параллелепипеда (d) вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2} ] Подставим известное значение диагонали (d = 2 \text{ см}): [ 2 = \sqrt{a^2 + a^2 + (2a)^2} ] Упростим выражение под корнем: [ 2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 4a^2} = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6} ] Отсюда: [ a\sqrt{6} = 2 ] Выразим (a): [ a = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

2. Измерения параллелепипеда

   Теперь найдём все измерения параллелепипеда: [ a = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad a = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad 2a = \frac{2\sqrt{6}}{3} ]

   Таким образом, измерения параллелепипеда: [ \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}, \quad \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}, \quad \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ см} ]

Найдём синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания

1. Диагональ основания

   Диагональ квадрата основания (d{\text{осн}}) вычисляется по формуле: [ d{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} ] Подставим значение (a): [ d_{\text{осн}} = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\sqrt{2} = \frac{\sqrt{12}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} ]

2. Проекция диагонали параллелепипеда на плоскость основания

   Проекция диагонали параллелепипеда на плоскость основания — это диагональ основания: [ \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см} ]

3. Синус угла

   Синус угла (\theta) между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания можно найти как отношение длины противоположного катета (высоты параллелепипеда, (2a)) к длине гипотенузы (диагонали параллелепипеда): [ \sin \theta = \frac{2a}{d} ] Подставим значения (2a) и (d): [ \sin \theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

Итак, мы нашли:

a) Измерения параллелепипеда: (\frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}, \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ см}, \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ см})

b) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: (\frac{\sqrt{6}}{3})

а) Пусть сторона основания параллелепипеда равна x см. Тогда диагональ параллелепипеда равна диагонали куба со стороной x, которая равна √2x см. Так как измерения параллелепипеда относятся как 1:1:2, то высота параллелепипеда равна 2x см. Таким образом, измерения параллелепипеда равны x см, x см и 2x см.

б) Сначала найдем угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Пусть α - искомый угол. Тогда sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза = x / √2x = 1/√2. Следовательно, sin(α) = 1/√2. Угол α равен 45 градусам.

а) Измерения параллелепипеда: 1 см, 1 см, 2 см б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: sin(α) = √2/2