Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2 см, а его...

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого основанием служит квадрат. Пусть размеры параллелепипеда будут $a$, $a$ и $2a$, где $a$ — сторона квадрата основания.

Найдём измерения параллелепипеда

1. Диагональ параллелепипеда

   Диагональ прямоугольного параллелепипеда $d$ вычисляется по формуле: $d=\sqrt{a^2+a^2+(2a{)}^2}$ Подставим известное значение диагонали $d=2\text{ см}$: $2=\sqrt{a^2+a^2+(2a{)}^2}$ Упростим выражение под корнем: $2=\sqrt{a^2+a^2+4a^2}=\sqrt{6a^2}=a\sqrt{6}$ Отсюда: $a\sqrt{6}=2$ Выразим $a$: $a=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

2. Измерения параллелепипеда

   Теперь найдём все измерения параллелепипеда: $a=\frac{\sqrt{6}}{3},a=\frac{\sqrt{6}}{3},2a=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

   Таким образом, измерения параллелепипеда: $\frac{\sqrt{6}}{3}\text{ см},\frac{\sqrt{6}}{3}\text{ см},\frac{2\sqrt{6}}{3}\text{ см}$

Найдём синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания

1. Диагональ основания

   Диагональ квадрата основания (d{\text{осн}}) вычисляется по формуле: [ d{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} ] Подставим значение $a$: $d_{\text{осн}}=\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\sqrt{2}=\frac{\sqrt{12}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

2. Проекция диагонали параллелепипеда на плоскость основания

   Проекция диагонали параллелепипеда на плоскость основания — это диагональ основания: $\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ см}$

3. Синус угла

   Синус угла $\theta$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания можно найти как отношение длины противоположного катета $высотыпараллелепипеда,(2a$) к длине гипотенузы $диагоналипараллелепипеда$: $\sin \theta =\frac{2a}{d}$ Подставим значения $2a$ и $d$: $\sin \theta =\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Итак, мы нашли:

a) Измерения параллелепипеда: $\frac{\sqrt{6}}{3}\text{ см},\frac{\sqrt{6}}{3}\text{ см},\frac{2\sqrt{6}}{3}\text{ см}$

b) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

а) Пусть сторона основания параллелепипеда равна x см. Тогда диагональ параллелепипеда равна диагонали куба со стороной x, которая равна √2x см. Так как измерения параллелепипеда относятся как 1:1:2, то высота параллелепипеда равна 2x см. Таким образом, измерения параллелепипеда равны x см, x см и 2x см.

б) Сначала найдем угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Пусть α - искомый угол. Тогда sin$\alpha$ = противолежащий катет / гипотенуза = x / √2x = 1/√2. Следовательно, sin$\alpha$ = 1/√2. Угол α равен 45 градусам.

а) Измерения параллелепипеда: 1 см, 1 см, 2 см б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: sin$\alpha$ = √2/2