Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Боковые ребра наклонены к...

Для нахождения объема пирамиды с заданными условиями, нужно выполнить несколько шагов. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Сначала найдем площадь основания, а затем высоту пирамиды, чтобы использовать формулу для объема.

1. Площадь основания:

   Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается как половина произведения его катетов:

   [ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2 ]

2. Нахождение гипотенузы:

   Гипотенуза треугольника ( c ) находится по теореме Пифагора:

   [ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} ]

3. Высота пирамиды:

   Известно, что боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Пусть длина бокового ребра равна ( l ). Высота пирамиды ( h ) связана с длиной бокового ребра ( l ) и углом наклона с помощью тригонометрической функции синуса:

   [ \sin 60^\circ = \frac{h}{l} ]

   [ h = l \times \sin 60^\circ = l \times \frac{\sqrt{3}}{2} ]

   Чтобы найти ( l ), нужно определить положение вершины пирамиды относительно основания. Предположим, что вершина проецируется в центр окружности, описанной вокруг основания (гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром этой окружности).

   Радиус этой окружности:

   [ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} ]

   При наклонении под углом 60 градусов, боковое ребро будет являться гипотенузой в прямоугольном треугольнике с высотой ( h ) и радиусом ( R ):

   [ l^2 = h^2 + R^2 ]

   Подставим ( h = l \times \frac{\sqrt{3}}{2} ):

   [ l^2 = \left(l \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 5^2 ]

   [ l^2 = \frac{3}{4}l^2 + 25 ]

   [ \frac{1}{4}l^2 = 25 ]

   [ l^2 = 100 ]

   [ l = 10 \text{ см} ]

   Теперь можем найти ( h ):

   [ h = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

4. Объем пирамиды:

   Объем ( V ) пирамиды вычисляется по формуле:

   [ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h = \frac{1}{3} \times 24 \times 5\sqrt{3} ]

   [ V = 40\sqrt{3} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем пирамиды равен ( 40\sqrt{3} ) кубических сантиметров.

Для нахождения объема пирамиды сначала найдем высоту пирамиды, которая равна катету прямоугольного треугольника. Используем теорему Пифагора: (h = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10) см.

Теперь найдем площадь основания пирамиды, которая равна площади прямоугольного треугольника: (S_{\text{осн}} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24) см².

Далее найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды представляет собой трапецию, где боковые ребра пирамиды служат боковыми сторонами трапеции. Найдем высоту трапеции, которая равна (h_{\text{тр}} = h \cdot \sin{60^\circ} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна (S{\text{бок}} = \frac{a + b}{2} \cdot h{\text{тр}} = \frac{6 + 8}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 7 \cdot 5\sqrt{3} = 35\sqrt{3}) см².

И, наконец, найдем объем пирамиды по формуле: (V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 10 = 80) см³.