Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней...

Для решения данной задачи, нужно разложить пирамиду на составные части, а именно на прямоугольный треугольник и два равнобедренных треугольника.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площадей боковых граней. Площадь основания равна площади прямоугольника, т.е. S = a * b, где a и b - стороны прямоугольника, а S - площадь основания. Из условия известно, что диагональ прямоугольника равна 8 см, поэтому можем составить систему уравнений: a^2 + b^2 = 8^2 и a = 2b. Решив эту систему, найдем стороны прямоугольника a = 4√2 см и b = 2√2 см, следовательно, S = 8√2 см^2.

Теперь найдем площадь боковых граней. Для этого посчитаем площадь каждой боковой грани как площадь треугольника. Площадь каждой боковой грани равна Sг = (1/2) a l, где a - сторона треугольника (равна стороне прямоугольника), l - длина боковой грани. Так как две боковые грани образуют угол 30° и 45° с основанием, то длины этих боковых граней будут равны 4√2/√3 и 4√2/√2 см соответственно. Подставив значения, найдем Sг1 = 8 см^2 и Sг2 = 8√3 см^2.

Итак, общая площадь поверхности пирамиды равна S = Sосн + Sг1 + Sг2 = 8√2 + 8 + 8√3 см^2.

Для решения задачи нам нужно найти площадь поверхности пирамиды, основанием которой является прямоугольник, и учесть данные условия о боковых гранях.

1. Определим размеры основания:

   Известно, что диагональ прямоугольника равна 8 см. Пусть длины сторон прямоугольника равны ( a ) и ( b ). Тогда, по теореме Пифагора для диагонали прямоугольника, имеем:

   [ \sqrt{a^2 + b^2} = 8 ]

   Отсюда следует:

   [ a^2 + b^2 = 64 ]

   Однако точные значения ( a ) и ( b ) нам не нужны для дальнейших расчетов, так как они не влияют на нахождение высоты пирамиды и боковых граней.

2. Определим высоту пирамиды:

   Пусть вершина пирамиды ( V ) проецируется в точку ( O ) — центр прямоугольника (центроид основания). Поскольку две боковые грани перпендикулярны основанию, прямые, соединяющие вершину пирамиды с вершинами прямоугольника, также перпендикулярны основанию. Это значит, что высота пирамиды является перпендикуляром, опущенным из точки ( V ) на плоскость основания через точку ( O ).

3. Найдем высоты боковых граней:

   Для боковых граней, которые образуют углы с основанием, высоту пирамиды ( h ) можно выразить через данные углы.

   • Для грани с углом 30°:
     Высота этой грани из вершины пирамиды будет равна ( h = a \cdot \tan(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{3}} ).

   • Для грани с углом 45°:
     Высота этой грани равна ( h = b \cdot \tan(45^\circ) = b ).

   Так как обе грани имеют одну и ту же высоту пирамиды, ( \frac{a}{\sqrt{3}} = b ).

4. Определим площадь боковых граней:

   Площадь каждой боковой грани треугольника можно найти как половину произведения высоты на сторону основания, к которой она прилегает:

   • Грань с углом 30°:
     [ S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2}{2\sqrt{3}} ]

   • Грань с углом 45°:
     [ S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b = \frac{b^2}{2} ]

5. Полная площадь поверхности пирамиды:

   С учетом двух боковых граней, перпендикулярных основанию (каждая из которых равна ( \frac{1}{2} \cdot a \cdot h ) и ( \frac{1}{2} \cdot b \cdot h ), где ( h ) — высота пирамиды):

   [ S{\text{полная}} = S{\text{основание}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot h + \frac{a^2}{2\sqrt{3}} + \frac{b^2}{2} ]

   Поскольку ( a^2 + b^2 = 64 ), для нахождения ( a ) и ( b ) используем условие ( \frac{a}{\sqrt{3}} = b ):

   Решая уравнения, можно найти конкретные значения ( a ) и ( b ), подставить их в формулы для нахождения боковых граней и затем вычислить сумму всех граней, однако для упрощения ответа достаточно использовать верхние формулы, подставляя значения ( a ) и ( b ) в соответствии с условиями задачи.

Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды определяется через вычисление площадей всех граней, включая основание и боковые грани.