Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с боковой стороной 6 см и углом при вершине 120°. Диагональ наибольшей боковой грани образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой грани и полной поверхности призмы. Задача тут уже решалась, но ход решения мне не ясен,пожалуйста,помогите!
Давайте разберем задачу пошагово.
Итак, основание прямой призмы - это равнобедренный треугольник (ABC) с боковой стороной (AB = AC = 6 \, \text{см}) и углом при вершине (A) равным (120^\circ).
Разделим треугольник (ABC) на два прямоугольных треугольника, опустив высоту (AD) из вершины (A) на основание (BC). Эта высота (AD) делит угол при вершине (A) пополам, то есть на два угла по (60^\circ).
В треугольнике (ABD) угол (BAD = 60^\circ), а угол (ABD = 90^\circ). Следовательно, треугольник (ABD) является прямоугольным, и можем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции.
Сначала найдем длину (BD) (половина основания (BC)): [ BD = AB \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \, \text{см} ]
Длина (BC) будет вдвое больше длины (BD): [ BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 3 = 6 \, \text{см} ]
[ AD = AB \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{см} ]
Из условия задачи известно, что диагональ наибольшей боковой грани (AD_1) (где (D_1) - вершина, соответствующая (D), но на противоположной базовой плоскости) образует угол (60^\circ) с плоскостью основания.
Диагональ боковой грани (AD_1) является гипотенузой прямоугольного треугольника (ADD_1), в котором:
Из условия: [ \cos(60^\circ) = \frac{AD}{AD_1} ]
Зная (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), получаем: [ \frac{1}{2} = \frac{AD}{AD_1} ]
Поскольку (AD_1) - это гипотенуза, а (AD) - одна из катетов: [ AD_1 = 2 \cdot AD = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \, \text{см} ]
В треугольнике (ADD_1) по теореме Пифагора: [ AD_1^2 = AD^2 + h^2 ]
Подставляем значения: [ (6\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 + h^2 ] [ 108 = 27 + h^2 ] [ h^2 = 108 - 27 = 81 ] [ h = \sqrt{81} = 9 \, \text{см} ]
Боковая грань ((AB_1A1B)) - это прямоугольник с основанием (AB = 6 \, \text{см}) и высотой (h = 9 \, \text{см}): [ S{\text{боковой грани}} = AB \cdot h = 6 \cdot 9 = 54 \, \text{см}^2 ]
Полная поверхность призмы состоит из двух оснований и трех боковых граней.
Площадь одного основания (равнобедренный треугольник (ABC)): [ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]
Площадь трех боковых граней: [ S{\text{боковых граней}} = 3 \cdot S{\text{боковой грани}} = 3 \cdot 54 = 162 \, \text{см}^2 ]
Полная площадь поверхности призмы: [ S{\text{полная}} = 2 \cdot S{\text{основания}} + S_{\text{боковых граней}} = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 162 = 18\sqrt{3} + 162 \, \text{см}^2 ]
Для решения данной задачи нам потребуется воспользоваться геометрическими свойствами равнобедренного треугольника и прямоугольника.
Площадь боковой грани прямой призмы найдем следующим образом:
Найдем высоту равнобедренного треугольника. Так как у нас угол при вершине равен 120°, то основание треугольника разобьется на две равные части, и каждая из них будет равна 3 см. По теореме косинусов найдем высоту h: h^2 = 3^2 - (3/2)^2 = 9 - 2.25 = 6.75 h = √6.75 ≈ 2.6 см
Теперь найдем сторону равнобедренного треугольника. Используя теорему синусов, найдем сторону a: sin(60°) = h / a a = h / sin(60°) = 2.6 / √3 ≈ 1.5 см
По формуле площади треугольника S = 0.5 a h найдем площадь боковой грани: S = 0.5 1.5 2.6 ≈ 1.95 кв.см
Теперь найдем полную поверхность призмы. Поскольку у нас прямая призма, то площадь каждой боковой грани будет равна найденной нами ранее площади боковой грани. Плюс, нам нужно учесть площадь двух оснований прямой призмы. Поэтому общая площадь поверхности призмы будет равна: S = 2 Sбок + Sосн = 2 1.95 + 2 * 3 = 3.9 + 6 = 9.9 кв.см
Итак, площадь боковой грани прямой призмы составляет примерно 1.95 кв.см, а полная поверхность призмы равна примерно 9.9 кв.см.
