Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Высота пирамиды равна 16см и проходит через вершину прямого угла. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания.
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Высота пирамиды равна 16см и проходит через вершину прямого угла. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания.
Для решения задачи начнем с нахождения некоторых необходимых элементов пирамиды и параметров сечения.
Определение гипотенузы основания треугольника: Основание пирамиды - прямоугольный треугольник, где катеты равны 15 см и 20 см. Гипотенуза ( c ) треугольника вычисляется по теореме Пифагора: [ c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см} ]
Построение сечения: Сечение пирамиды делится плоскостью, перпендикулярной гипотенузе и проходящей через высоту пирамиды. Поскольку высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания, плоскость сечения будет проходить через эту вершину и будет перпендикулярна плоскости, в которой лежит гипотенуза.
Форма и размеры сечения: Так как сечение перпендикулярно гипотенузе, оно представляет собой прямоугольный треугольник, где один катет является высотой пирамиды (16 см), а второй катет равен высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу основания.
Для нахождения этой высоты ( h ) используем формулу площади треугольника через его стороны: [ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch ] где ( a = 15 \, \text{см} ), ( b = 20 \, \text{см} ), и ( c = 25 \, \text{см} ). [ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \, \text{cm}^2 ] [ 150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{300}{25} = 12 \, \text{см} ]
Площадь сечения: Площадь ( S' ) сечения, которое само является прямоугольным треугольником, вычисляется как: [ S' = \frac{1}{2} \cdot \text{высота пирамиды} \cdot \text{высота на гипотенузу} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \, \text{cm}^2 ]
Итак, площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания, равна 96 квадратных сантиметров.
Для нахождения площади сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания, нужно использовать подобие треугольников.
Поскольку высота пирамиды проходит через вершину прямого угла прямоугольного треугольника основания, получаем, что высота пирамиды является высотой прямоугольного треугольника. Таким образом, мы можем найти площадь сечения пирамиды, как площадь прямоугольного треугольника, образованного сечением и половиной основания пирамиды.
Площадь прямоугольного треугольника: S = 1/2 катет1 катет2 = 1/2 15 20 = 150 см².
Таким образом, площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания, равна 150 квадратным сантиметрам.
