Определите вид треугольника АВС если: а) А(3;7;-4),В(5;-3;2),С(1;3;-10); б) А(5;-5;-1),В(5;-3;-1),С(4;-3;0);

Чтобы определить вид треугольника ( \triangle ABC ), заданного координатами его вершин, необходимо вычислить длины его сторон и проанализировать их.

Шаг 1: Вычисление длин сторон

Для нахождения длины стороны между двумя точками в пространстве используется формула расстояния:

[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

а) Для треугольника A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10)

1. Длина стороны ( AB ):

[ AB = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-3 - 7)^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} ]

1. Длина стороны ( BC ):

[ BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (3 + 3)^2 + (-10 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 ]

1. Длина стороны ( CA ):

[ CA = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 7)^2 + (-10 + 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} ]

Теперь имеем:

• ( AB = \sqrt{140} )
• ( BC = 14 )
• ( CA = \sqrt{56} )

б) Для треугольника A(5;-5;-1), B(5;-3;-1), C(4;-3;0)

1. Длина стороны ( AB ):

[ AB = \sqrt{(5 - 5)^2 + (-3 + 5)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 ]

1. Длина стороны ( BC ):

[ BC = \sqrt{(4 - 5)^2 + (-3 + 3)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} ]

1. Длина стороны ( CA ):

[ CA = \sqrt{(4 - 5)^2 + (-3 + 5)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} ]

Теперь имеем:

• ( AB = 2 )
• ( BC = \sqrt{2} )
• ( CA = \sqrt{6} )

Шаг 2: Определение вида треугольника

а) Треугольник ABC

Проверяем равенство длины сторон для определения типа треугольника:

• Если все стороны равны, треугольник равносторонний.
• Если две стороны равны, треугольник равнобедренный.
• Если ни одна пара сторон не равна, треугольник разносторонний.

Здесь ( AB \neq BC \neq CA ), поэтому треугольник разносторонний.

б) Треугольник ABC

Аналогично, проверяем равенство:

• ( AB \neq BC \neq CA ), поэтому треугольник разносторонний.

Заключение

а) Треугольник с вершинами A(3;7;-4), B(5;-3;2), C(1;3;-10) является разносторонним.
б) Треугольник с вершинами A(5;-5;-1), B(5;-3;-1), C(4;-3;0) также является разносторонним.

а) Для определения вида треугольника АВС по координатам его вершин необходимо вычислить длины сторон треугольника и углы между ними.

1. Вычислим длины сторон треугольника: AB = √((5-3)² + (-3-7)² + (2+4)²) = √(2² + (-10)² + 6²) = √(4 + 100 + 36) = √140 BC = √((1-5)² + (3+3)² + (-10-2)²) = √((-4)² + 6² + (-12)²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14 AC = √((1-3)² + (3-7)² + (-10+4)²) = √((-2)² + (-4)² + (-6)²) = √(4 + 16 + 36) = √56

2. Вычислим углы треугольника при вершинах: a = arccos((BC² + AC² - AB²) / (2 BC AC)) b = arccos((AB² + BC² - AC²) / (2 AB BC)) c = arccos((AB² + AC² - BC²) / (2 AB AC))

3. Определим вид треугольника по значениям углов:

   • Если все углы треугольника острые (меньше 90 градусов), то треугольник будет остроугольным.
   • Если один из углов треугольника равен 90 градусов, то треугольник будет прямоугольным.
   • Если один из углов треугольника больше 90 градусов, то треугольник будет тупоугольным.

b) Вычислим длины сторон треугольника: AB = √((5-5)² + (-3+5)² + (-1+1)²) = √(0² + 2² + 0²) = √4 = 2 BC = √((4-5)² + (-3+3)² + (0+1)²) = √((-1)² + 0² + 1²) = √2 AC = √((4-5)² + (-3+5)² + (0+1)²) = √((-1)² + 2² + 1²) = √6

Далее аналогично вычисляем углы и определяем вид треугольника по значениям углов.