Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать теорему Пифагора и связанные с ней тригонометрические соотношения.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 90 градусов, угол ABC равен 60 градусов, гипотенуза AC равна x, а меньший катет AB равен y.

Так как угол ABC равен 60 градусов, то угол BCA равен 30 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Согласно теореме Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: x^2 = y^2 + (21 - y)^2 x^2 = y^2 + 441 - 42y + y^2 x^2 = 2y^2 - 42y + 441

Также мы знаем, что тангенс угла ABC равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tan(60) = y / (21 - y) √3 = y / (21 - y) √3(21 - y) = y 21√3 - √3y = y 21√3 = 4√3y y = 21 / 4

Подставляем найденное значение y обратно в уравнение для x: x^2 = 2(21/4)^2 - 42(21/4) + 441 x^2 = 2(441/16) - 42(21/4) + 441 x^2 = 110.25 - 220.5 + 441 x^2 = 330.75 x ≈ 18.19 см

Итак, гипотенуза треугольника равна примерно 18.19 см, а меньший катет равен 5.25 см.

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Анализ условия

Мы имеем прямоугольный треугольник, один из углов которого составляет 60 градусов, а другой, соответственно, 30 градусов, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, и один из углов уже прямой (90 градусов).

Шаг 2: Свойства углов

Известно, что в прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60°, стороны относятся как 1 : √3 : 2. То есть, если меньший катет (против угла в 30°) обозначить как ( a ), то гипотенуза будет ( 2a ), а другой катет (против 60°) будет ( a\sqrt{3} ).

Шаг 3: Формулировка уравнения

По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 21 см: [ a + 2a = 21 ] [ 3a = 21 ] [ a = 7 \text{ см} ]

Шаг 4: Нахождение гипотенузы и меньшего катета

Теперь, зная ( a ), можно найти гипотенузу: [ \text{Гипотенуза} = 2a = 2 \times 7 = 14 \text{ см} ]

Меньший катет уже найден: [ \text{Меньший катет} = a = 7 \text{ см} ]

Итак, ответ:

• Гипотенуза треугольника равна 14 см.
• Меньший катет равен 7 см.

Таким образом, мы нашли необходимые длины сторон в треугольнике, опираясь на свойства прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°.