Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма короткого катета и гипотенузы равна 9 см.Определи...

1. Второй острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, так как сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол занимает 90°.

2. Обозначим длину короткого катета как a, а гипотенузу как b. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: a^2 + b^2 = 9^2, a^2 + b^2 = 81.

Также из условия задачи следует, что tan(60°) = a/b, что равно tg(60°) = sqrt(3) = a/b.

Отсюда получаем, что a = b sqrt(3), и подставляя это в уравнение Пифагора, получаем: (b sqrt(3))^2 + b^2 = 81, 3b^2 + b^2 = 81, 4b^2 = 81, b^2 = 81/4, b = 9/2.

Следовательно, длина короткого катета равна 9/2 = 4.5 см.

Для решения задачи начнем с анализа свойств прямоугольного треугольника и используем известные тригонометрические соотношения.

1. Величина второго острого угла

В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180°. Один угол прямой (90°), и один из острых углов равен 60°.

Вычислим величину второго острого угла: [ 180° - 90° - 60° = 30° ]

Таким образом, второй острый угол равен 30°.

2. Длина короткого катета

Обозначим короткий катет через ( a ), длинный катет через ( b ), а гипотенузу через ( c ).

Из условия задачи известно, что: [ a + c = 9 ]

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60°. В треугольнике с углами 30°, 60° и 90° есть известные соотношения:

• Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
• Катет, противолежащий углу 60°, равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) от гипотенузы.

Пусть ( a ) — короткий катет (противолежащий углу 30°), тогда: [ a = \frac{c}{2} ]

Теперь подставим ( a ) в уравнение ( a + c = 9 ): [ \frac{c}{2} + c = 9 ]

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: [ c + 2c = 18 ] [ 3c = 18 ] [ c = 6 ]

Теперь найдем ( a ): [ a = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

Таким образом, длина короткого катета равна 3 см.

Ответ:

1. Величина второго острого угла равна ( 30° ).
2. Длина короткого катета равна 3 см.