Один из катет прямоугольного треугольника равен 18 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна...

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Обозначим катеты треугольника за (a) и (b), а гипотенузу за (c).

Из условия задачи имеем: (a = 18) см, (b^2 + (b/ c)^2 = c^2), (b/ c = 9).

Подставим известные значения в уравнение Пифагора и решим его: (18^2 + 9^2 = c^2), (324 + 81 = c^2), (405 = c^2), (c = \sqrt{405}), (c = 3 \sqrt{45}), (c = 3 \cdot 3 \sqrt{5}), (c = 9 \sqrt{5}) см.

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна (9 \sqrt{5}) см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о проекции катета на гипотенузу.

Обозначим треугольник как ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ). Пусть:

• ( AC = 18 ) см — один из катетов,
• ( BC ) — другой катет,
• ( AB ) — гипотенуза,
• ( CD ) — проекция катета ( BC ) на гипотенузу ( AB ), и ( CD = 9 ) см.

По теореме о проекции катета на гипотенузу, проекция катета на гипотенузу равна произведению гипотенузы на косинус угла при этом катете. То есть: [ CD = AB \cdot \cos(\angle B) ]

Также для прямоугольного треугольника мы знаем, что: [ \cos(\angle B) = \frac{AC}{AB} ]

Подставим значение ( AC = 18 ) см: [ CD = AB \cdot \frac{AC}{AB} = \frac{18}{AB} \cdot AB = 18 ]

Теперь у нас два выражения для ( CD ):

1. ( CD = 9 ) см (по условию задачи)
2. ( CD = 18 \cdot \frac{BC}{AB} )

Из этого следует: [ 9 = 18 \cdot \frac{BC}{AB} ] [ \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} ] [ BC = \frac{AB}{2} ]

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы ( AB ): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ AB^2 = 18^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 ] [ AB^2 = 324 + \frac{AB^2}{4} ]

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби: [ 4AB^2 = 1296 + AB^2 ] [ 4AB^2 - AB^2 = 1296 ] [ 3AB^2 = 1296 ] [ AB^2 = 432 ] [ AB = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} ]

Теперь найдём ( BC ): [ BC = \frac{AB}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ]

Таким образом, второй катет ( BC ) равен ( 6\sqrt{3} ) см, а гипотенуза ( AB ) равна ( 12\sqrt{3} ) см.