Один из катет прямоугольного треугольника равен 18 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна...

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Обозначим катеты треугольника за $a$ и $b$, а гипотенузу за $c$.

Из условия задачи имеем: $a=18$ см, $b^2+(b/c$^2 = c^2), $b/c=9$.

Подставим известные значения в уравнение Пифагора и решим его: ${18}^2+9^2=c^2$, $324+81=c^2$, $405=c^2$, $c=\sqrt{405}$, $c=3\sqrt{45}$, $c=3\cdot 3\sqrt{5}$, $c=9\sqrt{5}$ см.

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна $9\sqrt{5}$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о проекции катета на гипотенузу.

Обозначим треугольник как $\mathrm{△}ABC$, где $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$. Пусть:

• $AC=18$ см — один из катетов,
• $BC$ — другой катет,
• $AB$ — гипотенуза,
• $CD$ — проекция катета $BC$ на гипотенузу $AB$, и $CD=9$ см.

По теореме о проекции катета на гипотенузу, проекция катета на гипотенузу равна произведению гипотенузы на косинус угла при этом катете. То есть: $CD=AB\cdot \cos (\mathrm{\angle }B)$

Также для прямоугольного треугольника мы знаем, что: $\cos (\mathrm{\angle }B)=\frac{AC}{AB}$

Подставим значение $AC=18$ см: $CD=AB\cdot \frac{AC}{AB}=\frac{18}{AB}\cdot AB=18$

Теперь у нас два выражения для $CD$:

1. $CD=9$ см $поусловиюзадачи$
2. $CD=18\cdot \frac{BC}{AB}$

Из этого следует: $9=18\cdot \frac{BC}{AB}$ $\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$ $BC=\frac{AB}{2}$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы $AB$: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$ $A{B}^2={18}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ $A{B}^2=324+\frac{A{B}^2}{4}$

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби: $4A{B}^2=1296+A{B}^2$ $4A{B}^2-A{B}^2=1296$ $3A{B}^2=1296$ $A{B}^2=432$ $AB=\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot 3}=12\sqrt{3}$

Теперь найдём $BC$: $BC=\frac{AB}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

Таким образом, второй катет $BC$ равен $6\sqrt{3}$ см, а гипотенуза $AB$ равна $12\sqrt{3}$ см.