Образующая конуса, равная 11, наклонена к плоскости основания под углом 30. Найти V/π

Для нахождения объема конуса, когда известна образующая и угол наклона к плоскости основания, необходимо использовать некоторые геометрические соотношения.

1. Определим основные параметры конуса:

   • Образующая ( l = 11 ).
   • Угол наклона образующей к плоскости основания ( \alpha = 30^\circ ).

2. Найдем радиус основания и высоту конуса: Образующая, радиус ( r ) и высота ( h ) конуса связаны следующей треугольной зависимостью: [ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} ] [ \cos(\alpha) = \frac{r}{l} ]

   Подставим значение ( l = 11 ) и ( \alpha = 30^\circ ):

   • ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), тогда: [ h = l \cdot \sin(30^\circ) = 11 \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{2} ]
   • ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), тогда: [ r = l \cdot \cos(30^\circ) = 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2} ]

3. Вычислим объем конуса: Объем ( V ) конуса вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

   Подставим найденные значения ( r ) и ( h ): [ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{11\sqrt{3}}{2} \right)^2 \left( \frac{11}{2} \right) ]

   Сначала найдем ( r^2 ): [ r^2 = \left( \frac{11\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{121 \cdot 3}{4} = \frac{363}{4} ]

   Теперь подставим это значение в формулу объема: [ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{363}{4} \right) \left( \frac{11}{2} \right) ] Упростим: [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{363 \cdot 11}{8} ] [ V = \frac{3993}{24} \pi ]

4. Рассчитаем ( \frac{V}{\pi} ): [ \frac{V}{\pi} = \frac{3993}{24} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \frac{V}{\pi} = \frac{3993}{24} ]

Для нахождения объема конуса ( V ) можно использовать формулу:

[ V = \frac{1}{3} S_b h ]

где ( S_b ) — площадь основания, ( h ) — высота конуса.

Обозначим образующую конуса как ( l = 11 ), а угол наклона к плоскости основания как ( \alpha = 30^\circ ).

Сначала найдем высоту ( h ):

[ h = l \cdot \sin(\alpha) = 11 \cdot \sin(30^\circ) = 11 \cdot \frac{1}{2} = 5.5 ]

Теперь найдем радиус основания ( r ) конуса:

[ r = l \cdot \cos(\alpha) = 11 \cdot \cos(30^\circ) = 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2} ]

Теперь вычислим площадь основания ( S_b ):

[ S_b = \pi r^2 = \pi \left( \frac{11\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \pi \cdot \frac{121 \cdot 3}{4} = \frac{363\pi}{4} ]

Теперь можем найти объем ( V ):

[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot \frac{363\pi}{4} \cdot 5.5 = \frac{363 \cdot 5.5 \pi}{12} = \frac{1996.5 \pi}{12} = \frac{499.125 \pi}{3} ]

Теперь найдем ( \frac{V}{\pi} ):

[ \frac{V}{\pi} = \frac{499.125}{3} \approx 166.375 ]

Таким образом, ( \frac{V}{\pi} \approx 166.375 ).

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

1. Образующая конуса ( l = 11 ),
2. Угол наклона образующей к плоскости основания ( \alpha = 30^\circ ),
3. Нужно найти отношение объема конуса ( V ) к ( \pi ), то есть ( \frac{V}{\pi} ).

Известные формулы:

1. Радиус основания ( r ) можно найти, используя свойства треугольника:
   [ r = l \cdot \sin{\alpha}, ] где ( l ) — образующая, а ( \alpha ) — угол наклона образующей к плоскости основания.

2. Высота конуса ( h ) также находится через тригонометрические функции:
   [ h = l \cdot \cos{\alpha}. ]

3. Формула для объема конуса:
   [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. ]

Подставив ( r ) и ( h ) в формулу, мы найдем объем.

Решение:

Шаг 1. Найдем радиус основания ( r ):

[ r = l \cdot \sin{\alpha} = 11 \cdot \sin{30^\circ}. ] Значение ( \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} ), поэтому: [ r = 11 \cdot \frac{1}{2} = 5.5. ]

Шаг 2. Найдем высоту ( h ):

[ h = l \cdot \cos{\alpha} = 11 \cdot \cos{30^\circ}. ] Значение ( \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому: [ h = 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2}. ]

Шаг 3. Выразим объем ( V ):

Формула объема: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. ] Подставим значения ( r = 5.5 ) и ( h = \frac{11\sqrt{3}}{2} ): [ V = \frac{1}{3} \pi (5.5)^2 \cdot \frac{11\sqrt{3}}{2}. ]

Рассчитаем шаг за шагом:

1. ( (5.5)^2 = 30.25 ),
2. ( 30.25 \cdot \frac{11\sqrt{3}}{2} = \frac{332.75\sqrt{3}}{2} ),
3. Умножим на ( \frac{1}{3} ):
   [ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{332.75\sqrt{3}}{2} = \frac{332.75\sqrt{3}}{6}. ]

Шаг 4. Найдем ( \frac{V}{\pi} ):

[ \frac{V}{\pi} = \frac{332.75\sqrt{3}}{6\pi}. ]

Ответ:

[ \frac{V}{\pi} = \frac{332.75\sqrt{3}}{6}. ] Или в приближенном виде можно оставить, если нужно.