Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов и равна 4 см.Найдите площадь...

Для нахождения площади осевого сечения конуса, нам необходимо знать радиус основания конуса и угол наклона образующей к плоскости основания.

По условию известно, что образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов и равна 4 см. Также известно, что образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, высота которого равна радиусу основания. Поэтому, чтобы найти радиус основания, нам необходимо применить тригонометрические функции.

cos$60°$ = радиус основания / 4 радиус основания = 4 cos$60°$ = 4 0.5 = 2 см

Теперь, зная радиус основания, мы можем найти площадь осевого сечения конуса. Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле:

S = π r^2 S = π 2^2 S = 4π

Таким образом, площадь осевого сечения конуса равна 4π квадратных сантиметра.

Осевое сечение конуса – это сечение, которое проходит через вершину конуса и центр его основания, образуя треугольник. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, треугольник, полученный в осевом сечении, будет равнобедренным.

Образующая конуса, равная 4 см, служит одной из боковых сторон этого равнобедренного треугольника. Высота конуса будет также важна для нахождения площади осевого сечения. В равнобедренном треугольнике образующая образует угол 60 градусов с основанием, что позволяет нам использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты.

Поскольку угол между образующей и основанием составляет 60 градусов, угол между образующей и высотой, опущенной на основание $радиусоснованияконуса$, будет равен 30 градусов $таккакобразующая,радиусивысотаконусаобразуютпрямоугольныйтреугольник,гдеобразующаяявляетсягипотенузой$.

Используя соотношение в прямоугольном треугольнике: $\sin {30}^{\circ }=\frac{\text{противолежащий катет (радиус основания R)}}{\text{гипотенуза (образующая L)}}.$ $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}=\frac{R}{4}\Rightarrow R=2\text{ см.}$

Теперь, зная радиус, можно найти высоту конуса $H$ через косинус этого же угла: $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{H}{4}\Rightarrow H=2\sqrt{3}\text{ см.}$

Теперь можно найти площадь осевого сечения: Площадь треугольника = $\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высота}$. Основание треугольника равно диаметру основания конуса $2R=4см$, а высота треугольника равна высоте конуса $2\surd 3см$: $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}{\text{ см}}^2.$

Таким образом, площадь осевого сечения конуса составляет $4\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

Площадь осевого сечения конуса равна 8 квадратным сантиметрам.