Образующая конуса 30 см угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°. Вычислите длину...

Для решения задачи сначала нужно определить длину высоты конуса. В данном случае у нас есть образующая ( l = 30 ) см и угол (\theta = 60^\circ) между образующей и плоскостью основания конуса.

Вычисление высоты конуса

Высота ( h ) конуса связана с образующей ( l ) и углом (\theta) следующим образом:

[ h = l \cdot \cos(\theta) ]

Подставим известные значения:

[ h = 30 \cdot \cos(60^\circ) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \text{ см} ]

Вычисление радиуса основания конуса

Радиус основания конуса ( r ) связан с образующей ( l ) и углом (\theta) через синус:

[ r = l \cdot \sin(\theta) ]

Подставим известные значения:

[ r = 30 \cdot \sin(60^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \text{ см} ]

Вычисление площади основания конуса

Площадь основания ( S ) круга с радиусом ( r ) вычисляется по формуле:

[ S = \pi r^2 ]

Подставим значение радиуса:

[ S = \pi (15\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 225 \cdot 3 = 675\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, длина высоты конуса составляет 15 см, а площадь его основания равна ( 675\pi ) квадратных сантиметров.

Образующая конуса является гипотенузой треугольника, образованного ею, высотой конуса и радиусом основания. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°, что означает, что этот треугольник является прямоугольным.

Поскольку известно, что образующая равна 30 см и угол между ней и высотой конуса (которая является катетом прямоугольного треугольника) равен 60°, то мы можем использовать тригонометрические функции синуса и косинуса, чтобы вычислить длину высоты конуса.

sin(60°) = h/30 h = 30 sin(60°) h = 30 √3 / 2 h = 15√3 см

Теперь, чтобы вычислить площадь основания конуса, нам нужно найти радиус основания. Радиус основания также является катетом прямоугольного треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей конуса.

cos(60°) = r/30 r = 30 cos(60°) r = 30 1/2 r = 15 см

Теперь мы можем вычислить площадь основания конуса, используя формулу для площади круга:

S = π r^2 S = π 15^2 S = 225π см^2

Итак, длина высоты конуса составляет 15√3 см, а площадь его основания равна 225π см^2.

Длина высоты конуса равна 15√3 см, площадь основания конуса равна 150π см².