О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Выразите через векторы AB=a, AD=b векторы BD=OC

Для решения задачи через векторы рассмотрим параллелограмм (ABCD), где даны векторы (AB = \mathbf{a}) и (AD = \mathbf{b}). Точка (O) является точкой пересечения диагоналей (AC) и (BD).

Вектор (BD)

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. То есть, точка (O) делит диагональ (BD) пополам. Нам нужно найти вектор (BD).

1. Выразим вектор (BD) через данные векторы: [ BD = B + D = (B - A) + (D - A) = \mathbf{b} - (-\mathbf{a}) = \mathbf{b} - (-\mathbf{a}) = \mathbf{b} + \mathbf{a} ]

Таким образом, вектор (BD) равен (\mathbf{b} + \mathbf{a}).

Вектор (OC)

Теперь найдем вектор (OC), используя тот факт, что точка (O) делит диагонали пополам.

1. Найдем вектор (AC):

   • (AC = C - A), где (C = B + D - A) (по свойствам параллелограмма).
   • Подставим (C = B + D - A), тогда: [ AC = (B + D - A) - A = (B - A) + (D - A) = \mathbf{a} + \mathbf{b} ]

2. Так как (O) делит (AC) пополам, то: [ OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Следовательно, векторы (BD) и (OC) выражаются через (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) следующим образом:

• (BD = \mathbf{b} + \mathbf{a})
• (OC = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}))

Это решение показывает, как точки пересечения диагоналей и их свойства могут быть выражены через векторы в параллелограмме.

Вектор BD можно выразить как сумму векторов OB и OD. Так как точка O - точка пересечения диагоналей, то OB равен -OD. Таким образом, вектор BD=OB+OD=OB-OB=0. Следовательно, вектор BD=OC=0.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами векторов и диагоналей параллелограмма.

Поскольку точка О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, то вектор OA равен вектору OC, и вектор OB равен вектору OD.

Таким образом, вектор OC можно выразить как сумму векторов OB и BC. Используя свойства параллелограмма, мы знаем, что вектор BC равен вектору AD. Таким образом, вектор OC равен вектору OB + вектору AD.

Имея векторы OB (равный вектору BD) и AD (равный вектору b), мы можем выразить вектор OC как вектор BD + b.