Ненулевые векторы m и n называются противоположно направленными если

Ненулевые векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) называются противоположно направленными, если они имеют одинаковую линию действия, но направлены в противоположные стороны. Вектор ( \mathbf{m} ) направлен в одну сторону, а вектор ( \mathbf{n} ) в противоположную. Это можно выразить через их скалярные произведения и коэффициенты.

Более формально, векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) противоположно направлены, если существует отрицательное число ( k ), такое что:

[ \mathbf{n} = k \mathbf{m} ]

где ( k < 0 ).

Это выражение говорит нам о том, что вектор ( \mathbf{n} ) является масштабированной версией вектора ( \mathbf{m} ), но из-за отрицательного знака он направлен в противоположную сторону. Геометрически это означает, что если выложить векторы так, чтобы их начала совпадали, то они лягут на одну и ту же прямую, но их стрелки будут указывать в противоположные направления.

Для проверки противоположности направлений векторов также можно использовать скалярное произведение. Если скалярное произведение равно отрицательному произведению их длин, то векторы противоположно направлены:

[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = -|\mathbf{m}| |\mathbf{n}| ]

Таким образом, противоположно направленные векторы характеризуются как одинаковые по модулю и лежащие на одной линии, но имеющие противоположные направления.

их скалярное произведение равно -||m||*||n||, где ||m|| и ||n|| - длины векторов m и n соответственно. То есть векторы считаются противоположно направленными, если они направлены в противоположные стороны относительно друг друга.