Найти угол между векторами a и b, если a = 3i+4j+5k b = 4i+5j-3k

Чтобы найти угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), нужно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами в трёхмерном пространстве:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

где ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов, а ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — их нормы (длины).

1. Найдём скалярное произведение векторов:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3i + 4j + 5k) \cdot (4i + 5j - 3k) ]

Вычисляем скалярное произведение по компонентам:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times (-3) ]

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + 20 - 15 = 17 ]

1. Найдём нормы векторов:

Норма вектора ( \mathbf{a} ):

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

Норма вектора ( \mathbf{b} ):

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

1. Вычисляем косинус угла:

[ \cos \theta = \frac{17}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{17}{50} ]

1. Находим угол (\theta):

Чтобы найти угол ( \theta ), возьмём арккосинус от полученного значения:

[ \theta = \arccos \left(\frac{17}{50}\right) ]

Таким образом, угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен ( \arccos \left(\frac{17}{50}\right) ). Для численного значения можно воспользоваться калькулятором или соответствующим программным обеспечением.

Для нахождения угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a b) / (|a| |b|),

где a и b - векторы, (a * b) - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

Длины векторов a и b можно посчитать как корень из суммы квадратов координат векторов:

|a| = sqrt(3^2 + 4^2 + 5^2) = sqrt(9 + 16 + 25) = sqrt(50) = 5√2, |b| = sqrt(4^2 + 5^2 + (-3)^2) = sqrt(16 + 25 + 9) = sqrt(50) = 5√2.

Теперь найдем скалярное произведение векторов a и b:

a b = 3 4 + 4 5 + 5 (-3) = 12 + 20 - 15 = 17.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = 17 / (5√2 * 5√2) = 17 / 50 = 0.34.

Наконец, чтобы найти угол θ между векторами a и b, можно воспользоваться обратной функцией косинуса:

θ = arccos(0.34) ≈ 70.52 градусов.

Таким образом, угол между векторами a и b составляет примерно 70.52 градусов.