Найти tg^a, если cos^a = корень из 2/2. Это все условие

Если (\cos^a = \frac{\sqrt{2}}{2}), то (\cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}). Это соответствует углам (a = 45^\circ) или (a = 315^\circ) (или (a = \frac{\pi}{4}) и (a = \frac{7\pi}{4}) в радианах).

Теперь найдем (\tan a):

[ \tan 45^\circ = 1 \quad \text{и} \quad \tan 315^\circ = 1 ]

Таким образом, (\tan^a = 1).

Давайте внимательно разберем задачу.

Условие

Дано, что ( \cos^a = \frac{\sqrt{2}}{2} ). Необходимо найти ( \tan^a ).

1. Связь между синусом и косинусом

В тригонометрии существует основное тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ] Подставим известное значение ( \cos^a = \frac{\sqrt{2}}{2} ) в это тождество: [ \sin^2 a + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1. ] Вычислим квадрат косинуса: [ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. ] Подставим это в уравнение: [ \sin^2 a + \frac{1}{2} = 1. ] Вычтем ( \frac{1}{2} ) из обеих частей: [ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. ]

Теперь знаем, что: [ \sin^2 a = \frac{1}{2}. ]

2. Найдем значение синуса

Чтобы найти ( \sin a ), извлечем квадратный корень из ( \sin^2 a ): [ \sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Важно отметить, что знак синуса (( + ) или ( - )) зависит от четверти, в которой находится угол ( a ). Однако, в задаче это не указано, поэтому будем учитывать оба случая.

3. Выразим тангенс через синус и косинус

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}. ] Подставим известные значения: [ \cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Разделим эти значения: [ \tan a = \frac{\pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. ] Сократим дробь: [ \tan a = \pm 1. ]

4. Ответ

Значение ( \tan^a ) равно ( \pm 1 ). Знак зависит от четверти, в которой находится угол ( a ):

• Если угол ( a ) находится в первой или третьей четверти, то ( \tan a = 1 ).
• Если угол ( a ) находится во второй или четвертой четверти, то ( \tan a = -1 ).

Если в задаче не уточняется, то ответ: ( \tan^a = \pm 1 ).

Для решения задачи, где нам нужно найти ( \tan^a ), если дано ( \cos^a = \frac{\sqrt{2}}{2} ), начнем с анализа условия.

1. Находим значение угла: Условие ( \cos^a = \frac{\sqrt{2}}{2} ) подразумевает, что ( \cos ) равен ( \frac{\sqrt{2}}{2} ). Это значение достигается при углах: [ a = 45^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{или} \quad a = 315^\circ + k \cdot 360^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}. ] В радианах это будет: [ a = \frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \quad \text{или} \quad a = \frac{7\pi}{4} + k \cdot 2\pi. ]

2. Находим значения синуса: Для угла ( a = \frac{\pi}{4} ) имеем: [ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ] Для угла ( a = \frac{7\pi}{4} ): [ \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}. ]

3. Находим тангенс: Тангенс угла ( a ) определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}. ]

   Для ( a = \frac{\pi}{4} ): [ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1. ]

   Для ( a = \frac{7\pi}{4} ): [ \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1. ]

4. Находим ( \tan^a ): Теперь, зная значения ( \tan ), можем найти ( \tan^a ) при тех же углах.

   Если ( a = \frac{\pi}{4} ): [ \tan^a = 1^a = 1. ]

   Если ( a = \frac{7\pi}{4} ): [ \tan^a = (-1)^a. ]

   В зависимости от значения ( a ), если ( a ) — четное, ( \tan^a = 1 ), если нечетное, ( \tan^a = -1 ).

5. Вывод: В общем случае для ( a = \frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi ) (четные степени) ( \tan^a = 1 ), и для ( a = \frac{7\pi}{4} + k \cdot 2\pi ) (нечетные степени) ( \tan^a = -1 ).

Таким образом, ответ зависит от четности значения ( a ): если ( a ) четное, то ( \tan^a = 1 ); если нечетное, то ( \tan^a = -1 ).