Найти площадь ромба,сторона которого равна 15 см , а разность диагоналей - 6 см

Чтобы найти площадь ромба, нам нужно знать длины его диагоналей. Дано, что сторона ромба равна 15 см, а разность диагоналей равна 6 см. Обозначим диагонали ромба через (d_1) и (d_2), где (d_1 > d_2). Тогда можно записать уравнение:

[d_1 - d_2 = 6.]

Также известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Это значит, что каждый из четырех образованных треугольников является прямоугольным с гипотенузой, равной стороне ромба, то есть 15 см. Если обозначить половины диагоналей через ( \frac{d_1}{2} ) и ( \frac{d_2}{2} ), то по теореме Пифагора для одного из этих треугольников получим:

[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 15^2. ]

Упростим это уравнение:

[ \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 225. ]

Умножим всё уравнение на 4:

[ d_1^2 + d_2^2 = 900. ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. (d_1 - d_2 = 6,)
2. (d_1^2 + d_2^2 = 900.)

Из первого уравнения выразим (d_1):

[d_1 = d_2 + 6.]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ (d_2 + 6)^2 + d_2^2 = 900. ]

Раскроем скобки:

[d_2^2 + 12d_2 + 36 + d_2^2 = 900.]

Объединим подобные слагаемые:

[2d_2^2 + 12d_2 + 36 = 900.]

Вычтем 36 из обеих сторон уравнения:

[2d_2^2 + 12d_2 = 864.]

Разделим всё уравнение на 2:

[d_2^2 + 6d_2 = 432.]

Решим это квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду:

[d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0.]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения. Дискриминант (D) равен:

[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \times 1 \times (-432) = 36 + 1728 = 1764.]

Корень из дискриминанта:

[\sqrt{1764} = 42.]

Теперь найдём корни уравнения:

[ d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 42}{2}. ]

Получаем два значения:

1. (d_2 = \frac{-6 + 42}{2} = 18,)
2. (d_2 = \frac{-6 - 42}{2} = -24.)

Так как длина диагонали не может быть отрицательной, берём (d_2 = 18).

Теперь найдём (d_1):

[d_1 = d_2 + 6 = 18 + 6 = 24.]

Теперь, когда у нас есть обе диагонали, найдём площадь ромба. Площадь ромба можно найти по формуле:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}. ]

Подставим найденные значения диагоналей:

[ S = \frac{24 \cdot 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь ромба равна 216 см².

Для того чтобы найти площадь ромба, у которого сторона равна 15 см и разность диагоналей равна 6 см, нам необходимо использовать следующую формулу:

S = (d1 * d2) / 2

Где S - площадь ромба, d1 и d2 - диагонали ромба.

Так как у нас известно, что сторона ромба равна 15 см, то мы можем найти диагонали, используя формулу:

d1 = 2 * √(a^2 + b^2)

где a и b - стороны ромба.

Из условия известно, что разность диагоналей равна 6 см, поэтому:

d1 - d2 = 6

Теперь мы можем найти диагонали:

d1 = 15 d2 = 9

Теперь подставим найденные значения в формулу для площади ромба:

S = (15 * 9) / 2 S = 67.5 см^2

Таким образом, площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей равна 6 см, составляет 67.5 квадратных сантиметров.