Найти координаты центра и радиус сферы х^2+y^2+6y+z^2=0

Для того чтобы найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением ( x^2 + y^2 + 6y + z^2 = 0 ), нужно привести уравнение к стандартному виду уравнения сферы. Стандартное уравнение сферы имеет вид:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2, ]

где ((x_0, y_0, z_0)) — координаты центра сферы, а ( r ) — её радиус.

1. Приведение уравнения к стандартному виду:

   Имеем уравнение: ( x^2 + y^2 + 6y + z^2 = 0 ).

   Сначала сгруппируем и выделим полный квадрат для переменной ( y ):

   [ x^2 + y^2 + 6y + z^2 = 0. ]

   Для ( y ), выделяем полный квадрат:

   [ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. ]

   Подставим это в исходное уравнение:

   [ x^2 + (y + 3)^2 - 9 + z^2 = 0. ]

   Перенесем (-9) на правую сторону уравнения:

   [ x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 9. ]

2. Определение центра и радиуса:

   Теперь у нас есть уравнение сферы в стандартном виде:

   [ (x - 0)^2 + (y + 3)^2 + (z - 0)^2 = 3^2. ]

   Из этого уравнения видно, что:

   • Координаты центра сферы ((x_0, y_0, z_0)) равны ((0, -3, 0)).
   • Радиус сферы ( r ) равен 3.

Таким образом, координаты центра сферы — ((0, -3, 0)), а её радиус равен 3.

Для нахождения центра и радиуса сферы с уравнением x^2+y^2+6y+z^2=0 нужно сначала привести уравнение к каноническому виду с центром в (h, k, l) и радиусом R.

Для этого перепишем уравнение сферы в виде (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = R^2.

Исходное уравнение можно переписать в виде (x^2) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 = 9.

Теперь полное квадратное выражение для y: (y + 3)^2 = -x^2 - z^2 + 9.

Сравнивая с полным квадратным выражением, видим, что h = 0, k = -3 и l = 0.

Следовательно, центр сферы находится в точке (0, -3, 0).

Радиус сферы равен R = sqrt(9) = 3.

Таким образом, центр сферы находится в точке (0, -3, 0), а её радиус равен 3.