Найдите значения m и n, при которых векторы a и b коллинеарны если vec(a){1;-2;m},vec(b){n;6;3}. сравните...

Для того чтобы векторы a и b были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельны друг другу, то есть один мог быть получен умножением другого на некоторое число.

Из условия задачи мы знаем, что вектор a имеет координаты {1; -2; m}, а вектор b имеет координаты {n; 6; 3}. Для того чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы они были параллельными, то есть вектор b можно получить умножением вектора a на некоторое число k.

То есть мы можем записать это следующим образом: n = k 1 6 = k (-2) 3 = k * m

Отсюда получаем следующие значения: n = k 6 = -2k 3 = mk

Решив систему уравнений, мы получаем: k = -3, m = 1

Таким образом, для значений m = 1 и n = -3 векторы a и b будут коллинеарными.

Чтобы сравнить длины векторов a и b, можно воспользоваться формулой для нахождения длины вектора: |a| = √(1^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(1 + 4 + 1) = √6 |b| = √((-3)^2 + 6^2 + 3^2) = √(9 + 36 + 9) = √54 = 3√6

Таким образом, длина вектора b равна 3 раза длине вектора a.

Направления векторов a и b будут параллельными, так как они коллинеарны.

Чтобы векторы ( \vec{a} = (1, -2, m) ) и ( \vec{b} = (n, 6, 3) ) были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны. Это значит, что должно существовать такое число ( k ), что выполняются следующие равенства:

[ \frac{1}{n} = \frac{-2}{6} = \frac{m}{3} ]

Сначала найдём ( n ), решив первое равенство:

[ \frac{1}{n} = \frac{-2}{6} ]

Упростим дробь:

[ \frac{1}{n} = \frac{-1}{3} ]

Теперь решим это равенство относительно ( n ):

[ n = -3 ]

Теперь найдём ( m ), решив второе равенство:

[ \frac{-2}{6} = \frac{m}{3} ]

Упростим левую часть:

[ \frac{-1}{3} = \frac{m}{3} ]

Чтобы найти ( m ), упростим это равенство:

[ m = -1 ]

Таким образом, значения ( m ) и ( n ) такие, что векторы ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) коллинеарны, равны ( m = -1 ) и ( n = -3 ).

Теперь сравним длины и направления векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ).

Длина вектора ( \vec{a} ) вычисляется по формуле:

[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} ]

Длина вектора ( \vec{b} ) вычисляется по формуле:

[ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} ]

Теперь сравним направления. Векторы коллинеарны, если один вектор является произведением другого на какое-то число. Мы знаем, что ( \vec{b} = k \vec{a} ). Сравним их компоненты:

[ (n, 6, 3) = k (1, -2, -1) ]

Подставим значения ( n ):

[ (-3, 6, 3) = k (1, -2, -1) ]

Решим это уравнение по компонентам:

[ -3 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -3 ]

Проверим для остальных компонент:

[ 6 = k \cdot (-2) \Rightarrow 6 = -3 \cdot (-2) = 6 ] [ 3 = k \cdot (-1) \Rightarrow 3 = -3 \cdot (-1) = 3 ]

Обе оставшиеся компоненты также совпадают при ( k = -3 ). Это подтверждает, что векторы ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) коллинеарны и их направления противоположны.

Таким образом, ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) коллинеарны при ( m = -1 ) и ( n = -3 ), длина вектора ( \vec{b} ) в три раза больше длины вектора ( \vec{a} ), и их направления противоположны.