Найдите высоту BD треугольника ABC, если AB=4, BC=6, угол ABC= 60 градусов.

Для нахождения высоты треугольника BD можно воспользоваться формулой для высоты, проведенной из вершины угла треугольника: h = c * sin(A), где h - высота треугольника, проведенная из вершины угла, c - сторона треугольника, противолежащая этому углу, A - величина угла.

В данном случае сторона противолежащая углу ABC - AB = 4, угол ABC = 60 градусов. Подставляем значения: h = 4 sin(60) = 4 √3 / 2 = 2√3.

Таким образом, высота треугольника BD равна 2√3.

Для решения задачи необходимо использовать формулы тригонометрии и свойства треугольников. Давайте разложим задачу на несколько шагов.

1. Найти длину стороны AC треугольника ABC:

   Мы знаем, что AB = 4, BC = 6 и угол ABC = 60 градусов. Согласно теореме косинусов для треугольника, соотношение для стороны AC будет следующим:

   [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(ABC) ]

   Подставим известные значения:

   [ AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) ]

   Зная, что (\cos(60^\circ) = 0.5), получим:

   [ AC^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0.5 ]

   [ AC^2 = 16 + 36 - 24 ]

   [ AC^2 = 28 ]

   [ AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} ]

2. Найти высоту BD:

   Высота BD в треугольнике ABC опускается из вершины B на сторону AC. Угол ABC разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника: ABD и BDC. Высота BD будет перпендикуляром к AC.

   Воспользуемся формулой площади треугольника, чтобы выразить BD через известные величины. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

   [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(ABC) ]

   Подставим известные значения:

   [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) ]

   Зная, что (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), получим:

   [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

   [ S = 6\sqrt{3} ]

   Площадь также можно выразить через основание AC и высоту BD:

   [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD ]

   Подставим выражение площади через AC и BD:

   [ 6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot BD ]

   Упростим это уравнение:

   [ 6\sqrt{3} = \sqrt{7} \cdot BD ]

   [ BD = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{7}} ]

   Сократим дробь:

   [ BD = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{21}}{7} ]

   [ BD = \frac{6\sqrt{21}}{7} ]

   Таким образом, высота BD треугольника ABC равна (\frac{6\sqrt{21}}{7}).

Высота треугольника BD равна 2√3.