Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1; 3)
Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1; 3)
Чтобы найти угол между лучом ( OA ) и положительной полуосью ( Ox ), необходимо использовать координаты точки ( A(-1; 3) ) и определить угол, который этот луч образует с осью ( Ox ).
Определим координаты точки ( A ):
Найдем вектор ( OA ): Вектор ( OA ) можно представить как ( \vec{OA} = (x_A - x_O, y_A - y_O) ). Поскольку точка ( O ) (начало координат) имеет координаты ( (0; 0) ), то: [ \vec{OA} = (-1 - 0, 3 - 0) = (-1, 3) ]
Определим угловой коэффициент вектора ( OA ): Угловой коэффициент вектора ( OA ) можно найти как отношение ( y ) к ( x ): [ k = \frac{y_A}{x_A} = \frac{3}{-1} = -3 ]
Найдём угол ( \phi ) между вектором ( OA ) и положительной полуосью ( Ox ): Угол ( \phi ) можно найти с использованием арктангенса: [ \tan(\phi) = k = -3 ] Тогда угол ( \phi ) равен: [ \phi = \arctan(-3) ]
Значение ( \arctan(-3) ) будет отрицательным, поскольку тангенс отрицателен в 2-й и 4-й четвертях. Чтобы определить, в какой четверти находится угол, отметим, что точка ( A(-1, 3) ) находится во 2-й четверти (где ( x < 0 ) и ( y > 0 )).
Определим угол в градусах: Мы знаем, что углы в 2-й четверти могут быть найдены по формуле: [ \phi = 180^\circ + \arctan(-3) ] Используя калькулятор, мы можем найти ( \arctan(3) \approx 71.57^\circ ). Следовательно: [ \phi \approx 180^\circ - 71.57^\circ \approx 108.43^\circ ]
Таким образом, угол между лучом ( OA ) и положительной полуосью ( Ox ) составляет примерно ( 108.43^\circ ).
Чтобы найти угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, можно использовать тангенс угла. Координаты точки A(-1; 3) дают вектор OA, который имеет координаты (-1; 3).
Тангенс угла θ можно найти по формуле:
[ \tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{3}{-1} = -3 ]
Теперь найдем угол:
[ \theta = \arctan(-3) ]
Это значение угла будет в четвертой четверти, поскольку x отрицательный, а y положительный. Угол θ равен:
[ \theta \approx 180^\circ + \arctan(-3) \approx 180^\circ - 71.57^\circ \approx 108.43^\circ ]
Таким образом, угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох составляет примерно 108.43°.
Чтобы найти угол между лучом ( ОА ) и положительной полуосью ( ОХ ), нам нужно использовать векторный подход и тригонометрические функции.
Определение координат вектора ( \overrightarrow{OA} ):
Точка ( О ) (начало координат) имеет координаты ( (0, 0) ), а точка ( А ) имеет координаты ( (-1, 3) ). Таким образом, координаты вектора ( \overrightarrow{OA} ) равны: [ \overrightarrow{OA} = (-1 - 0; 3 - 0) = (-1; 3). ]
Определение направления луча ( ОА ):
Луч ( ОА ) имеет направление, совпадающее с направлением вектора ( \overrightarrow{OA} ).
Формула для нахождения угла:
Угол между вектором ( \overrightarrow{OA} ) и положительным направлением оси ( ОХ ) можно найти через косинус угла. Формула косинуса угла между вектором ( \overrightarrow{OA} ) и осью ( ОХ ) следующая: [ \cos \phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, ] где ( x ) и ( y ) — это координаты вектора ( \overrightarrow{OA} ).
В данном случае ( x = -1 ), ( y = 3 ).
Подставляем значения:
Сначала находим модуль (длину) вектора ( \overrightarrow{OA} ): [ |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}. ]
Теперь подставляем в формулу для косинуса: [ \cos \phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}. ]
Определение угла ( \phi ):
Чтобы найти угол ( \phi ), нужно взять арккосинус значения ( \cos \phi ): [ \phi = \arccos \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right). ]
Однако, так как наш вектор находится во второй четверти (координаты ( x < 0, y > 0 )), угол ( \phi ) будет измеряться от положительной оси ( ОХ ) против часовой стрелки. Таким образом, угол ( \phi ) можно выразить как: [ \phi = \pi - \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{10}} \right). ]
Приближённое значение угла:
Вычислим значение ( \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{10}} \right) ) в градусах. Для этого используем калькулятор: [ \arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{10}} \right) \approx 108,43^\circ. ]
Таким образом, угол между лучом ( ОА ) и положительной полуосью ( ОХ ) примерно равен: [ \phi \approx 108,43^\circ. ]
Угол между лучом ( ОА ) и положительной полуосью ( ОХ ) составляет примерно 108,43°.
