Найдите угол BOC , если O - начало координат ,а координаты точек В {-√2/2;2/2} , С{√3/2;1/2}
Найдите угол BOC , если O - начало координат ,а координаты точек В {-√2/2;2/2} , С{√3/2;1/2}
Чтобы найти угол ( \angle BOC ), где ( O ) — это начало координат, а точки ( B ) и ( C ) имеют координаты ( B \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2}{2}\right) ) и ( C \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) ), мы будем использовать скалярное произведение векторов ( \vec{OB} ) и ( \vec{OC} ).
Сначала определим векторы ( \vec{OB} ) и ( \vec{OC} ):
Скалярное произведение векторов ( \vec{OB} ) и ( \vec{OC} ) вычисляется как: [ \vec{OB} \cdot \vec{OC} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 \cdot \frac{1}{2} ]
Вычислим каждое слагаемое: [ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{4} ]
[ 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ]
Тогда скалярное произведение: [ \vec{OB} \cdot \vec{OC} = -\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2} ]
Теперь найдём длины векторов ( \vec{OB} ) и ( \vec{OC} ): [ |\vec{OB}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + 1} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2} ]
[ |\vec{OC}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1 ]
Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{OB} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OB}| \cdot |\vec{OC}|} ]
[ \cos \theta = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot 1} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} ]
[ \cos \theta = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\frac{-\sqrt{6} + 2}{4}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} ]
[ \cos \theta = \frac{-\sqrt{6} + 2}{2\sqrt{6}} ]
Теперь найдём угол ( \theta ) как арккосинус этого значения. Это значение можно оценить численно или использовать тригонометрические таблицы для более точного результата. Однако, аналитически вычислить точный угол без численных методов сложно, поэтому можно остановиться на этом выражении для косинуса угла.
Для нахождения угла BOC можно воспользоваться теоремой косинусов. В данном случае, угол BOC равен arccos((BC^2+OC^2-OB^2)/(2BCOC)), где BC - длина отрезка BC, OC - длина отрезка OC, OB - длина отрезка OB.
Для нахождения угла BOC можно воспользоваться теоремой косинусов. Для этого нужно вычислить длины отрезков OB, OC и BC.
Длина отрезка OB равна корню из суммы квадратов координат точки B: OB = √((-√2/2)^2 + (2/2)^2) = √(2/4 + 4/4) = √(6/4) = √6/2.
Длина отрезка OC равна корню из суммы квадратов координат точки C: OC = √((√3/2)^2 + (1/2)^2) = √(3/4 + 1/4) = √(4/4) = 1.
Длина отрезка BC равна расстоянию между точками B и C: BC = √((√3/2 + √2/2)^2 + (1/2 - 2/2)^2) = √(3/4 + 2√3/4 + 2/4 + 1/4) = √(6/4 + 2√3/4 + 1/4) = √(7/2 + √3/2).
Теперь найдем косинус угла BOC по формуле косинуса угла между векторами: cos(BOC) = (OB^2 + OC^2 - BC^2) / (2 OB OC) = ((√6/2)^2 + 1^2 - (7/2 + √3/2)^2) / (2 √6/2 1) = (6/4 + 1 - 7/2 - √3/2 - 7/2 - √3/2 + 3/2 + 1/2) / √6 = (7/4 - 7 + 4 - 3) / √6 = 1/4 - 6 / √6 = (1 - 6√6) / 4√6.
Теперь находим угол BOC по формуле arccos(cos(BOC)) = arccos((1 - 6√6) / 4√6). Полученное значение угла BOC будет в радианах.
