Найдите сторону АС треугольника АВС , если АВ=5√2см , Вс=4см,угол В=135°

Для нахождения стороны AC треугольника ABC, воспользуемся теоремой косинусов.

Сначала найдем сторону AC. Обозначим ее за х.

cos(135°) = (AC^2 - AB^2 - BC^2) / (2 AB BC)

cos(135°) = (x^2 - (5√2)^2 - 4^2) / (2 5√2 4)

cos(135°) = (x^2 - 50 - 16) / (40√2)

cos(135°) = (x^2 - 66) / (40√2)

cos(135°) = (-1√2 / 2)

-(1√2 / 2) = (x^2 - 66) / (40√2)

-√2 = x^2 - 66

x^2 = 66 - √2

x = √(66 - √2)

Таким образом, сторона AC треугольника ABC равна √(66 - √2) см.

Чтобы найти сторону ( AC ) треугольника ( ABC ), можно воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]

где ( c ) — сторона, противолежащая углу ( C ), а ( a ) и ( b ) — две другие стороны треугольника. В данном случае, ( C ) — это угол ( B ) (135°), ( a = AB = 5\sqrt{2} ) см, ( b = BC = 4 ) см, и ( c = AC ).

Подставим известные значения в уравнение:

[ AC^2 = (5\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ) ]

Сначала вычислим квадраты сторон:

[ (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 ] [ 4^2 = 16 ]

Теперь найдём ( \cos(135^\circ) ). Угол 135° находится во второй четверти, где косинус отрицателен, и вычисляется как:

[ \cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим все значения в выражение:

[ AC^2 = 50 + 16 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ]

Вычислим произведение:

[ 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = -40 \cdot 1 = -40 ]

Учитывая, что знак должен быть противоположным (так как косинус отрицательный, а выражение в итоге положительное):

[ 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 40 ]

Теперь подставим обратно в уравнение:

[ AC^2 = 50 + 16 + 40 = 106 ]

Наконец, найдём ( AC ):

[ AC = \sqrt{106} ]

Таким образом, сторона ( AC ) треугольника ( ABC ) равна (\sqrt{106}) см.