Найдите синусы и косинусы углов треугольника, две стороны которых равны 10 см и 8 см, а угол между ними...

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть треугольник, в котором две стороны равны 10 см и 8 см, а угол между ними составляет 60 градусов. Назовем стороны ( a = 10 ) см и ( b = 8 ) см, а угол между ними – ( \theta = 60^\circ ).

Шаг 1: Найдем третью сторону треугольника

Для нахождения третьей стороны ( c ) треугольника мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая формулируется так:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) ]

Подставим известные значения:

[ c^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) ]

Так как ( \cos(60^\circ) = 0.5 ), подставим это значение:

[ c^2 = 100 + 64 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 0.5 ] [ c^2 = 100 + 64 - 80 ] [ c^2 = 84 ] [ c = \sqrt{84} \approx 9.165 ]

Шаг 2: Найдем синусы и косинусы углов треугольника

Теперь нам нужно найти синусы и косинусы углов ( A ), ( B ) и ( C ) треугольника, где:

• ( A ) – угол напротив стороны ( a ) (10 см)
• ( B ) – угол напротив стороны ( b ) (8 см)
• ( C ) – угол напротив стороны ( c ) (примерно 9.165 см)

Используем теорему синусов для нахождения углов:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Найдем угол ( A )

Сначала найдем угол ( C ) с помощью теоремы косинусов:

[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} ] Подставим значения:

[ \cos C = \frac{10^2 + 8^2 - (\sqrt{84})^2}{2 \cdot 10 \cdot 8} ] [ \cos C = \frac{100 + 64 - 84}{160} ] [ \cos C = \frac{80}{160} = 0.5 ]

Следовательно:

[ C = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ ]

Теперь, зная, что ( C = 60^\circ ), можем найти углы ( A ) и ( B ):

Шаг 3: Найдем угол ( B )

Используя теорему синусов, можем найти угол ( B ):

[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Подставим значения:

[ \frac{8}{\sin B} = \frac{\sqrt{84}}{\sin(60^\circ)} ]

Зная, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:

[ \frac{8}{\sin B} = \frac{\sqrt{84}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} ] [ \sin B = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{84}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{84}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} \approx 0.691 ]

Теперь можем найти угол ( B ):

[ B = \sin^{-1}(0.691) \approx 43.6^\circ ]

Шаг 4: Найдем угол ( A )

Теперь, зная углы ( B ) и ( C ), можем найти угол ( A ):

[ A = 180^\circ - B - C \approx 180^\circ - 43.6^\circ - 60^\circ \approx 76.4^\circ ]

Шаг 5: Синусы и косинусы углов

Теперь можем найти синусы и косинусы углов:

1. Для угла ( A \approx 76.4^\circ ):

   • ( \sin A \approx 0.970 )
   • ( \cos A \approx 0.241 )

2. Для угла ( B \approx 43.6^\circ ):

   • ( \sin B \approx 0.691 )
   • ( \cos B \approx 0.722 )

3. Для угла ( C = 60^\circ ):

   • ( \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 )
   • ( \cos C = 0.5 )

Ответ

Таким образом, синусы и косинусы углов треугольника:

• Угол ( A \approx 76.4^\circ ): ( \sin A \approx 0.970 ), ( \cos A \approx 0.241 )
• Угол ( B \approx 43.6^\circ ): ( \sin B \approx 0.691 ), ( \cos B \approx 0.722 )
• Угол ( C = 60^\circ ): ( \sin C = 0.866 ), ( \cos C = 0.5 )

Для решения задачи нужно воспользоваться свойствами тригонометрии и формулой для вычисления сторон и углов треугольника. Давайте решим её пошагово.

Дано:

• Стороны треугольника: ( a = 10 \, \text{см} ), ( b = 8 \, \text{см} ).
• Угол между ними: ( \angle C = 60^\circ ).

Нужно найти синусы и косинусы всех углов треугольника (( \angle A ), ( \angle B ), и ( \angle C )).

Шаг 1. Используем косинусное правило для нахождения третьей стороны ( c ).

Формула косинусного правила: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C ] Подставим известные значения (( \cos 60^\circ = 0.5 )): [ c^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 0.5 ] [ c^2 = 100 + 64 - 80 = 84 ] [ c = \sqrt{84} \approx 9.17 \, \text{см}. ]

Теперь известны все стороны треугольника: ( a = 10 ), ( b = 8 ), ( c \approx 9.17 ).

Шаг 2. Используем синусное правило для нахождения углов ( \angle A ) и ( \angle B ).

Формула синусного правила: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Найдем ( \sin C ) сначала для удобства: [ \sin C = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866. ]

Теперь можем найти общую величину (отношение сторон к синусам): [ \frac{c}{\sin C} = \frac{9.17}{0.866} \approx 10.6. ]

Для угла ( \angle A ): [ \sin A = \frac{a}{\frac{c}{\sin C}} = \frac{10}{10.6} \approx 0.943. ]

Для угла ( \angle B ): [ \sin B = \frac{b}{\frac{c}{\sin C}} = \frac{8}{10.6} \approx 0.755. ]

Шаг 3. Найдем косинусы углов ( \angle A ) и ( \angle B ) с помощью основного тригонометрического тождества.

Основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1. ]

Для угла ( \angle A ): [ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - 0.943^2 \approx 1 - 0.889 = 0.111. ] [ \cos A \approx \sqrt{0.111} \approx 0.333. ]

Для угла ( \angle B ): [ \cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - 0.755^2 \approx 1 - 0.570 = 0.430. ] [ \cos B \approx \sqrt{0.430} \approx 0.656. ]

Ответ:

• Угол ( \angle C = 60^\circ ): ( \sin C \approx 0.866 ), ( \cos C = 0.5 ).
• Угол ( \angle A ): ( \sin A \approx 0.943 ), ( \cos A \approx 0.333 ).
• Угол ( \angle B ): ( \sin B \approx 0.755 ), ( \cos B \approx 0.656 ).