Найдите площадь поверхности прямой призмы в основании лежит ромб с диагоналями 3 и 4 и боковым ребром...

Для нахождения площади поверхности прямой призмы, нужно учитывать площадь основания и площадь боковой поверхности. В данном случае основание призмы — ромб с диагоналями 3 и 4, а боковое ребро равно 4.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} ]

где (d_1) и (d_2) — диагонали ромба.

Подставим значения диагоналей:

[ S = \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 ]

Таким образом, площадь основания ромба составляет 6 квадратных единиц.

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

2.1: Найдем периметр основания (ромба)

Периметр ромба можно найти, зная длину его стороны. Сторона ромба может быть найдена через длины диагоналей по формуле:

[ a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} ]

Подставим значения диагоналей:

[ a = \frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{2} = \frac{\sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{\sqrt{25}}{2} = \frac{5}{2} ]

Теперь найдем периметр ромба:

[ P = 4a = 4 \cdot \frac{5}{2} = 10 ]

2.2: Найдем площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту:

[ S_{бок} = P \cdot h = 10 \cdot 4 = 40 ]

Шаг 3: Найдем полную площадь поверхности призмы

Полная площадь поверхности призмы равна сумме площади двух оснований и площади боковой поверхности:

[ S{total} = 2S + S{бок} ]

Подставим значения:

[ S_{total} = 2 \cdot 6 + 40 = 12 + 40 = 52 ]

Ответ

Таким образом, площадь поверхности прямой призмы составляет 52 квадратные единицы.

Для решения задачи найдем площадь поверхности прямой призмы, где основанием является ромб с диагоналями 3 и 4, а боковое ребро равно 4. Рассмотрим решение пошагово.

1. Площадь основания ромба

Основание прямой призмы — это ромб. Формула для площади ромба через его диагонали:

[ S_{\text{ромба}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, ]

где (d_1) и (d_2) — длины диагоналей ромба. В нашей задаче:

[ d_1 = 3, \quad d_2 = 4. ]

Подставляем в формулу:

[ S_{\text{ромба}} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6. ]

Итак, площадь основания равна (6 \, \text{ед}^2).

2. Периметр основания ромба

Теперь найдем сторону ромба, используя диагонали. Заметим, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, образуя четыре прямоугольных треугольника. Половины диагоналей равны:

[ \frac{d_1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5, \quad \frac{d_2}{2} = \frac{4}{2} = 2. ]

Сторона ромба (a) является гипотенузой треугольника с катетами (1.5) и (2). Используем теорему Пифагора:

[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5. ]

Периметр ромба равен:

[ P_{\text{ромба}} = 4a = 4 \cdot 2.5 = 10. ]

3. Площадь боковой поверхности призмы

Прямая призма имеет боковые грани в виде прямоугольников. Высота призмы равна длине её бокового ребра, то есть (h = 4). Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле:

[ S{\text{бок}} = P{\text{ромба}} \cdot h, ]

где (P_{\text{ромба}}) — периметр основания, а (h) — высота призмы. Подставляем значения:

[ S_{\text{бок}} = 10 \cdot 4 = 40. ]

4. Полная площадь поверхности призмы

Полная площадь поверхности призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Формула:

[ S{\text{полная}} = 2 \cdot S{\text{основания}} + S_{\text{бок}}. ]

Подставляем значения:

[ S_{\text{полная}} = 2 \cdot 6 + 40 = 12 + 40 = 52. ]

Ответ:

Площадь поверхности прямой призмы равна:

[ S_{\text{полная}} = 52 \, \text{ед}^2. ]