Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями равными 16 см и 30 см.

Для решения данной задачи, нам нужно вычислить радиус круга, вписанного в ромб, зная длины его диагоналей.

Пусть диагонали ромба равны d1 = 16 см и d2 = 30 см. По свойствам ромба, диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в его центре, разбивая ромб на четыре равных треугольника. Получаем, что половина длины диагонали - это радиус вписанного круга.

Таким образом, радиус круга r = d1 / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Теперь можем найти площадь круга по формуле: S = π r^2 = π 8^2 = π * 64 ≈ 201.06 см^2.

Итак, площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями 16 см и 30 см, составляет примерно 201.06 см^2.

Чтобы найти площадь круга, вписанного в ромб, необходимо сначала определить некоторые характеристики ромба. В частности, нам нужно найти его сторону и полупериметр.

Ромб с диагоналями (d_1 = 16) см и (d_2 = 30) см имеет следующие свойства:

1. Площадь ромба:

Площадь (S) ромба может быть найдена через диагонали по формуле: [ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} ] Подставляя известные значения: [ S = \frac{16 \cdot 30}{2} = 240 \, \text{см}^2 ]

1. Сторона ромба:

Сторона ромба (a) может быть найдена, используя диагонали и теорему Пифагора. Половина каждой диагонали образует прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне ромба: [ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{30}{2}\right)^2} ] [ a = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, \text{см} ]

1. Полупериметр ромба:

Полупериметр (p) ромба равен: [ p = 2a = 2 \times 17 = 34 \, \text{см} ]

1. Радиус вписанной окружности:

Радиус (r) вписанной окружности можно найти, используя формулу для радиуса окружности, вписанной в ромб: [ r = \frac{S}{p} ] Подставляя известные значения: [ r = \frac{240}{34} \approx 7.06 \, \text{см} ]

1. Площадь вписанной окружности:

Площадь круга, вписанного в ромб, равна: [ A = \pi r^2 ] Подставляя значение радиуса: [ A \approx \pi \times (7.06)^2 \approx \pi \times 49.8436 \approx 156.47 \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь круга, вписанного в ромб, составляет приблизительно (156.47 \, \text{см}^2).