Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности если сторона правильного треугольника вписанного...

Для решения этой задачи необходимо сначала найти радиус окружности, в которую вписан данный правильный треугольник.

1. Нахождение радиуса описанной окружности (R): Правильный треугольник со стороной (a = 5\sqrt{3}) имеет формулу для радиуса описанной окружности (R), которая выражается через сторону треугольника следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}}. ] Подставляя значение стороны (a): [ R = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5. ]

2. Нахождение площади круга (S): Площадь круга вычисляется по формуле: [ S = \pi R^2. ] Здесь (R = 5), поэтому: [ S = \pi \times 5^2 = 25\pi. ]

3. Нахождение длины окружности (C): Длина окружности находится по формуле: [ C = 2\pi R. ] С учетом найденного радиуса (R = 5): [ C = 2\pi \times 5 = 10\pi. ]

Таким образом, площадь круга равна (25\pi) квадратных единиц, а длина ограничивающей его окружности равна (10\pi) единиц.

Для начала, давайте найдем радиус вписанного круга, который равен расстоянию от центра круга до любой из его сторон.

Поскольку правильный треугольник делится на 6 равных треугольников, можно использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны вписанного треугольника: ( a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 5^2 ) ( a^2 + \frac{a^2}{4} = 25 ) ( \frac{5a^2}{4} = 25 ) ( a^2 = \frac{100}{5} ) ( a = 2 \cdot 5 = 10 )

Таким образом, сторона вписанного треугольника равна 10.

Радиус вписанного круга равен половине стороны, то есть ( r = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 ).

Теперь мы можем найти площадь круга: ( S = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi ).

Длина ограничивающей круг окружности равна диаметру круга, который равен удвоенному радиусу: ( d = 2r = 2 \cdot 5 = 10 ).

Таким образом, площадь круга равна ( 25\pi ) квадратных единиц, а длина ограничивающей его окружности равна 10 единицам.