Найдите периметр прямоугольника, если вокруг него описана окружность радиуса 5, а его площадь равна...

Для нахождения периметра прямоугольника, окружность которого описана, воспользуемся следующими формулами.

Пусть ( a ) и ( b ) — стороны прямоугольника. Площадь прямоугольника равна ( S = ab = 48 ), а радиус описанной окружности ( R ) равен ( 5 ). Для прямоугольника выполняется связь между его сторонами и радиусом описанной окружности:

[ R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} ]

Подставим значение радиуса:

[ 5 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \implies \sqrt{a^2 + b^2} = 10 \implies a^2 + b^2 = 100 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( ab = 48 )
2. ( a^2 + b^2 = 100 )

Используем формулу ( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab ):

[ (a + b)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 196 \implies a + b = \sqrt{196} = 14 ]

Периметр ( P ) прямоугольника равен:

[ P = 2(a + b) = 2 \cdot 14 = 28 ]

Таким образом, периметр прямоугольника равен ( 28 ).

Давайте пошагово разберемся с задачей.

Дано:

1. Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности: ( R = 5 ).
2. Площадь прямоугольника: ( S = 48 ).

Найти:

Периметр прямоугольника.

Теоретическая база:

1. Если вокруг прямоугольника описана окружность, то этот прямоугольник является вписанным в окружность. Это возможно только если его диагональ равна диаметру окружности. Диагональ прямоугольника ( d ) связана с радиусом окружности следующим образом: [ d = 2R. ]

2. Диагональ прямоугольника также выражается через его стороны ( a ) и ( b ) с использованием теоремы Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + b^2}. ]

3. Площадь прямоугольника выражается формулой: [ S = a \cdot b. ]

4. Периметр прямоугольника выражается формулой: [ P = 2(a + b). ]

Решение:

Шаг 1. Найдем диагональ прямоугольника.

Из условия дано, что радиус окружности ( R = 5 ). Тогда диагональ прямоугольника равна: [ d = 2R = 2 \cdot 5 = 10. ]

Шаг 2. Связь сторон через теорему Пифагора.

Согласно теореме Пифагора: [ a^2 + b^2 = d^2. ] Подставим ( d = 10 ): [ a^2 + b^2 = 10^2 = 100. ]

Шаг 3. Связь сторон через площадь.

Из условия площади прямоугольника: [ a \cdot b = S = 48. ]

Шаг 4. Решение системы уравнений.

У нас есть две связи для сторон ( a ) и ( b ):

1. ( a^2 + b^2 = 100 ),
2. ( a \cdot b = 48 ).

Эти два уравнения можно решить с использованием подстановки:

• Сумма квадратов сторон связана с их суммой и произведением: [ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. ] Подставим известные значения: [ (a + b)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 100 + 96 = 196. ] Тогда: [ a + b = \sqrt{196} = 14. ]

Шаг 5. Найдем периметр.

Периметр прямоугольника выражается как: [ P = 2(a + b). ] Подставим ( a + b = 14 ): [ P = 2 \cdot 14 = 28. ]

Ответ:

Периметр прямоугольника равен ( \mathbf{28} ).

Давайте решим задачу, используя данные о радиусе описанной окружности и площади прямоугольника.

1. Заданные параметры:

   • Радиус описанной окружности ( R = 5 ).
   • Площадь прямоугольника ( S = 48 ).

2. Формула для радиуса описанной окружности: Радиус описанной окружности для прямоугольника можно выразить через его стороны ( a ) и ( b ) (длину и ширину): [ R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}. ] Подставляем значение радиуса: [ 5 = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}. ] Умножим обе стороны на 2: [ \sqrt{a^2 + b^2} = 10. ] Квадрат обеих сторон дает: [ a^2 + b^2 = 100. ]

3. Формула для площади: Площадь прямоугольника выражается через его стороны как: [ S = a \cdot b. ] Подставляем значение площади: [ ab = 48. ]

4. Система уравнений: Теперь у нас есть система уравнений: [ a^2 + b^2 = 100, ] [ ab = 48. ]

5. Используем формулу для суммы и произведения корней: Из второго уравнения можем выразить одну сторону через другую: [ b = \frac{48}{a}. ] Подставим это выражение в первое уравнение: [ a^2 + \left( \frac{48}{a} \right)^2 = 100. ] Умножим все на ( a^2 ) для устранения дроби: [ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0. ] Пусть ( x = a^2 ), тогда уравнение принимает вид: [ x^2 - 100x + 2304 = 0. ] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 10000 - 9216 = 784. ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{100 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{100 \pm 28}{2}. ] Это дает два корня: [ x_1 = \frac{128}{2} = 64, \quad x_2 = \frac{72}{2} = 36. ] Соответственно, ( a^2 = 64 ) или ( a^2 = 36 ). Следовательно: [ a = 8 \quad \text{или} \quad a = 6. ] Если ( a = 8 ), то ( b = \frac{48}{8} = 6 ). Если ( a = 6 ), то ( b = \frac{48}{6} = 8 ).

6. Периметр прямоугольника: Периметр ( P ) прямоугольника вычисляется по формуле: [ P = 2(a + b). ] Подставляем найденные значения: [ P = 2(8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28. ]

Таким образом, периметр прямоугольника равен ( 28 ).