Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью...

Для нахождения объема пирамиды можно использовать формулу:

[ V = \frac{1}{3} S h ]

где ( S ) – площадь основания, а ( h ) – высота пирамиды.

В данной задаче пирамида правильная четырехугольная, то есть её основание – квадрат. Поскольку боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, это угол между боковым ребром и высотой, опущенной на основание из вершины пирамиды.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды ( h )

Поскольку угол между боковым ребром и высотой равен 45°, и боковое ребро ( l = 12 ) см, высота ( h ) будет равна одной из катетов прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром и высотой как гипотенузой. Следовательно, высота также будет равна 12 см, так как угол 45° предполагает, что катеты равны.

Шаг 2: Найдем сторону основания пирамиды ( a )

Теперь нужно найти сторону квадрата в основании. Для этого рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали квадрата и боковым ребром. Используем теорему Пифагора:

[ l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 ]

где ( d ) – диагональ квадрата. Сторона квадрата ( a ) связана с диагональю соотношением ( d = a \sqrt{2} ). Таким образом:

[ 12^2 = 12^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 ] [ 144 = 144 + \frac{a^2}{2} ] [ a^2 = 0 ]

Это невозможно, значит, нужно пересмотреть подход к решению. Возможно, я неправильно интерпретировал угол между боковым ребром и основанием. Правильно будет учесть, что угол в 45° образован между проекцией бокового ребра на плоскость основания (диагональю основания) и самим ребром.

[ \cos 45^\circ = \frac{h}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ h = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} ]

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного половиной диагонали основания, высотой и боковым ребром:

[ 12^2 = (6\sqrt{2})^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 ] [ 144 = 72 + \frac{d^2}{4} ] [ \frac{d^2}{4} = 72 ] [ d^2 = 288 ] [ d = 12\sqrt{2} ] [ a = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12 \text{ см} ]

Шаг 3: Найдем объем пирамиды

[ S = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2 ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{2} ] [ V = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем пирамиды равен ( 288\sqrt{2} ) кубических сантиметров.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды сначала нужно найти высоту данной пирамиды. Поскольку боковое ребро пирамиды равно 12 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты. Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то tan(45°) = h / 12. Отсюда h = 12 tan(45°) = 12 1 = 12 см. Теперь, когда мы знаем высоту пирамиды, можем найти ее объем. Объем пирамиды можно найти по формуле V = (1/3) S h, где S - площадь основания, а h - высота. Так как пирамида правильная, то ее основание - четырехугольник, который можно разделить на два прямоугольных треугольника. Площадь каждого треугольника равна S/2, где S - площадь основания. Так как основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, то его площадь равна a^2, где a - длина стороны квадрата. Таким образом, S = a^2. Теперь подставим все значения в формулу объема пирамиды: V = (1/3) a^2 h. Подставляем известные значения: V = (1/3) (12)^2 12 = 576 см^3. Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 576 кубическим сантиметрам.