Найдите объем и площадь полной поверхности конуса, если радиус его основания равен 8 см, а образующая...

Для решения задачи нам нужно найти объем и площадь полной поверхности конуса. Даны радиус основания ( r = 8 ) см и длина образующей ( l = 10 ) см.

Шаг 1: Найти высоту конуса

Высоту ( h ) конуса можно найти, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это образующая ( l ), один катет — это радиус основания ( r ), а другой катет — это высота конуса ( h ).

[ l^2 = r^2 + h^2 ]

Подставим известные значения:

[ 10^2 = 8^2 + h^2 ]

[ 100 = 64 + h^2 ]

[ h^2 = 36 ]

[ h = 6 \, \text{см} ]

Шаг 2: Найти объем конуса

Формула для объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

Подставим значения:

[ V = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (6) ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 64 \times 6 ]

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 384 ]

[ V = 128\pi \, \text{см}^3 ]

Шаг 3: Найти площадь полной поверхности конуса

Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания ( A_{\text{осн}} ):

[ A_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi \, \text{см}^2 ]

1. Площадь боковой поверхности ( A_{\text{бок}} ):

Формула для площади боковой поверхности:

[ A_{\text{бок}} = \pi r l ]

Подставим значения:

[ A_{\text{бок}} = \pi \times 8 \times 10 = 80\pi \, \text{см}^2 ]

1. Площадь полной поверхности ( A_{\text{полн}} ):

[ A{\text{полн}} = A{\text{осн}} + A_{\text{бок}} = 64\pi + 80\pi = 144\pi \, \text{см}^2 ]

Ответ

Объем конуса составляет ( 128\pi \, \text{см}^3 ), а площадь полной поверхности равна ( 144\pi \, \text{см}^2 ).

Для нахождения объема и площади полной поверхности конуса с заданными параметрами необходимо воспользоваться соответствующими формулами.

1. Объем конуса вычисляется по формуле: V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

2. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: S = π r (r + l), где r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Подставим известные значения: r = 8 см, l = 10 см.

1. Найдем высоту конуса: h = √(l^2 - r^2) = √(10^2 - 8^2) = √(100 - 64) = √36 = 6 см.

2. Теперь вычислим объем конуса: V = (1/3) π 8^2 6 = (1/3) π 64 6 = 128π см^3.

3. Наконец, найдем площадь полной поверхности конуса: S = π 8 (8 + 10) = π 8 18 = 144π см^2.

Итак, объем конуса составляет 128π см^3, а площадь полной поверхности - 144π см^2.