Найдите косинус угла между векторами p=a+b и q=a-b (вектора) если a= 5, b= 8, угол между векторами a...

Для нахождения косинуса угла между векторами p и q воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (p • q) / (||p|| * ||q||),

где p • q - скалярное произведение векторов p и q, ||p|| и ||q|| - длины векторов p и q.

Сначала найдем векторы p и q: p = a + b = 5i + 8j, q = a - b = 5i - 8j.

Теперь найдем скалярное произведение векторов p и q: p • q = (5 5) + (8 -8) = 25 - 64 = -39.

Длины векторов p и q: ||p|| = sqrt(5^2 + 8^2) = sqrt(25 + 64) = sqrt(89), ||q|| = sqrt(5^2 + (-8)^2) = sqrt(25 + 64) = sqrt(89).

Подставим все значения в формулу для косинуса угла между векторами: cos(θ) = (-39) / (sqrt(89) * sqrt(89)) = -39 / 89.

Таким образом, косинус угла между векторами p и q равен -39 / 89.

Для нахождения косинуса угла между векторами ( p ) и ( q ), выведем сначала выражения для самих векторов и выполнем необходимые вычисления.

1. Векторы ( p ) и ( q ): [ p = a + b ] [ q = a - b ]

2. Скалярное произведение векторов ( p ) и ( q ): [ p \cdot q = (a + b) \cdot (a - b) ]

   Используем дистрибутивное свойство скалярного произведения: [ p \cdot q = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b ]

   Поскольку ( a \cdot b = b \cdot a ), упростим: [ p \cdot q = a \cdot a - a \cdot b + a \cdot b - b \cdot b ] [ p \cdot q = a \cdot a - b \cdot b ]

3. Вычислим ( a \cdot a ) и ( b \cdot b ): [ a \cdot a = |a|^2 = 5^2 = 25 ] [ b \cdot b = |b|^2 = 8^2 = 64 ]

   Тогда: [ p \cdot q = 25 - 64 = -39 ]

4. Находим модули векторов ( p ) и ( q ): [ |p| = |a + b| ] [ |q| = |a - b| ]

   Модуль суммы (или разности) векторов можно найти с использованием формулы: [ |p| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos\theta} ] [ |q| = \sqrt{|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos\theta} ]

   Подставляем: [ |p| = \sqrt{25 + 64 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ} ] [ |q| = \sqrt{25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ} ]

   Поскольку ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ): [ |p| = \sqrt{25 + 64 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{25 + 64 + 40} = \sqrt{129} ] [ |q| = \sqrt{25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{25 + 64 - 40} = \sqrt{49} = 7 ]

5. Косинус угла между векторами ( p ) и ( q ): [ \cos\phi = \frac{p \cdot q}{|p||q|} ]

   Подставляем найденные значения: [ \cos\phi = \frac{-39}{\sqrt{129} \cdot 7} ]

   Упростим: [ \cos\phi = \frac{-39}{7\sqrt{129}} ]

Таким образом, косинус угла между векторами ( p ) и ( q ) равен: [ \cos\phi = \frac{-39}{7\sqrt{129}} ]

Косинус угла между векторами p и q равен -1/2.