Найдите косинус угла между векторами ̅a и ̅b , если ̅a = ̅c - ̅d, ̅b = ̅c + 2 ̅d, |̅c| = |̅d| = 1, угол (̅c,̅d)...

Косинус угла между векторами a и b равен -1/3.

Для нахождения косинуса угла между векторами (\vec{a}) и (\vec{b}), вам нужно воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами через их скалярное произведение и длины:

[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} ]

где (\theta) – угол между векторами (\vec{a}) и (\vec{b}), (\vec{a} \cdot \vec{b}) – скалярное произведение векторов, а (|\vec{a}|) и (|\vec{b}|) – длины векторов (\vec{a}) и (\vec{b}) соответственно.

1. Найдем скалярное произведение (\vec{a} \cdot \vec{b}): [ \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}, \quad \vec{b} = \vec{c} + 2\vec{d} ] [ \vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{c} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} + 2\vec{d}) = \vec{c} \cdot \vec{c} + 2\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{d} \cdot \vec{c} - 2\vec{d} \cdot \vec{d} ] Поскольку (\vec{c} \cdot \vec{d} = 0) (так как угол между (\vec{c}) и (\vec{d}) равен 90°), получаем: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{c}|^2 - 2|\vec{d}|^2 = 1 - 2 \cdot 1 = -1 ]

2. Найдем длины векторов (\vec{a}) и (\vec{b}): [ |\vec{a}| = |\vec{c} - \vec{d}| = \sqrt{|\vec{c}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{c}\cdot\vec{d}} = \sqrt{1 + 1 - 0} = \sqrt{2} ] [ |\vec{b}| = |\vec{c} + 2\vec{d}| = \sqrt{|\vec{c}|^2 + 4|\vec{d}|^2 + 4\vec{c}\cdot\vec{d}} = \sqrt{1 + 4 \cdot 1 + 0} = \sqrt{5} ]

3. Теперь используем формулу для косинуса угла: [ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} ]

Таким образом, косинус угла между векторами (\vec{a}) и (\vec{b}) равен (-\frac{1}{\sqrt{10}}).

Для того чтобы найти косинус угла между векторами ̅a и ̅b, нам необходимо воспользоваться определением косинуса угла между двумя векторами. Косинус угла между векторами ̅a и ̅b равен отношению скалярного произведения векторов ̅a и ̅b к произведению их длин.

Сначала найдем вектора ̅c и ̅d, так как они заданы. Учитывая условие |̅c| = |̅d| = 1 и угол (̅c,̅d) = 90̊, можем представить вектора ̅c и ̅d в виде ̅c = (1, 0) и ̅d = (0, 1).

Теперь найдем вектора ̅a и ̅b, используя данные из условия. ̅a = ̅c - ̅d = (1, 0) - (0, 1) = (1, -1), ̅b = ̅c + 2 ̅d = (1, 0) + 2(0, 1) = (1, 2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов ̅a и ̅b: ̅a ̅b = 11 + (-1)*2 = 1 - 2 = -1.

Длины векторов ̅a и ̅b можно найти по формуле длины вектора: |̅a| = √(1^2 + (-1)^2) = √2, |̅b| = √(1^2 + 2^2) = √5.

Теперь можем найти косинус угла между векторами ̅a и ̅b: cos(θ) = (̅a ̅b) / (|̅a| |̅b|) = -1 / (√2 * √5) = -1 / √10.

Итак, косинус угла между векторами ̅a и ̅b равен -1 / √10.