Найдите гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC если BC=12° И угол B=60°

Для нахождения гипотенузы ( AB ) в прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ) с известным катетом ( BC ) и углом ( B ), воспользуемся тригонометрическими функциями. В данном случае, угол ( B ) равен ( 60^\circ ), а катет ( BC ) известен.

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен ( 60^\circ ), другой угол (не прямой) будет равен ( 30^\circ ) (так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ), а прямой угол — ( 90^\circ )). Таким образом, угол ( C ) равен ( 30^\circ ).

Катет ( BC ) является противолежащим углу ( B ). Для нахождения гипотенузы ( AB ), мы можем использовать синус угла ( B ):

[ \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ]

Подставим известные значения:

[ \sin 60^\circ = \frac{BC}{AB} ]

Поскольку (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), уравнение становится:

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{AB} ]

Решим это уравнение относительно ( AB ):

[ AB = \frac{12 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} ]

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}):

[ AB = \frac{24 \times \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} ]

Таким образом, гипотенуза ( AB ) равна ( 8\sqrt{3} ).

Для нахождения гипотенузы треугольника ABC, мы можем использовать теорему синусов.

Сначала найдем длину стороны AC, которая является противолежащей углу B. Используя теорему синусов, мы можем записать:

sin(60°) / AC = sin(30°) / 12

sin(60°) = √3 / 2 sin(30°) = 1 / 2

Теперь мы можем решить уравнение:

√3 / 2 / AC = 1 / 2 / 12 √3 / 2 / AC = 1 / 24 AC = 24√3

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу AB:

AB² = AC² + BC² AB² = (24√3)² + 12² AB² = 576*3 + 144 AB² = 1728 + 144 AB² = 1872

AB = √1872 AB ≈ 43.27

Итак, гипотенуза треугольника ABC примерно равна 43.27.