Найдите длину вектора 3а+2b, если а=(2;0;0) и b=(1;1;-1)

Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{v} = 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} ), где (\mathbf{a} = (2, 0, 0)) и (\mathbf{b} = (1, 1, -1)), следуем следующим шагам:

1. Вычисление вектора ( 3\mathbf{a} ): [ 3\mathbf{a} = 3 \cdot (2, 0, 0) = (6, 0, 0) ]

2. Вычисление вектора ( 2\mathbf{b} ): [ 2\mathbf{b} = 2 \cdot (1, 1, -1) = (2, 2, -2) ]

3. Сложение векторов ( 3\mathbf{a} ) и ( 2\mathbf{b} ): [ 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} = (6, 0, 0) + (2, 2, -2) = (6+2, 0+2, 0-2) = (8, 2, -2) ]

4. Нахождение длины (или модуля) вектора ( \mathbf{v} = (8, 2, -2) ): Длина вектора ( \mathbf{v} ) (обозначается как ( |\mathbf{v}| )) вычисляется по формуле: [ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ] где ( x, y, z ) — координаты вектора ( \mathbf{v} ).

   В нашем случае: [ |\mathbf{v}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]

Таким образом, длина вектора ( 3\mathbf{a} + 2\mathbf{b} ) равна ( 6\sqrt{2} ).

Для нахождения длины вектора 3a + 2b сначала найдем сам вектор 3a + 2b:

3a = 3(2; 0; 0) = (6; 0; 0) 2b = 2(1; 1; -1) = (2; 2; -2)

Теперь сложим эти два вектора, чтобы получить вектор 3a + 2b:

(6; 0; 0) + (2; 2; -2) = (6 + 2; 0 + 2; 0 - 2) = (8; 2; -2)

Теперь найдем длину вектора (8; 2; -2) по формуле длины вектора:

|v| = √(8^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(64 + 4 + 4) = √72 = 6√2

Итак, длина вектора 3a + 2b равна 6√2.