Наибольший угол прямоугольной трапеции равен 120∘, а большая боковая сторона равна 10. Найдите разность...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольной трапеции.

Пусть основания трапеции равны a и b (где a > b), а высота равна h. Так как дано, что наибольший угол трапеции равен 120°, то мы можем заключить, что это угол находится между большей основой и боковой стороной длиной 10. Так как углы при основании трапеции равны, то угол между меньшей основой и боковой стороной равен 60°.

Теперь мы можем разделить трапецию на два равнобедренных треугольника. С помощью тригонометрии мы можем найти, что катет треугольника, примыкающий к меньшей основе, равен hsin(60°), а катет, примыкающий к большей основе, равен hcos(60°).

Таким образом, мы можем составить два уравнения: hsin(60°) = b, hcos(60°) = a. Также у нас есть уравнение для большей боковой стороны: a - b = 10.

Решив эту систему уравнений, мы найдем, что разность длин оснований равна 10 + 10√3.

Для решения задачи о прямоугольной трапеции с наибольшим углом 120° и большей боковой стороной длиной 10, мы можем следовать следующим шагам:

1. Понимание задачи:

   • Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой один из углов прямой (90°).
   • Трапеция имеет два основания, одно из которых больше другого.
   • Дано, что один из углов трапеции равен 120°, а большая боковая сторона равна 10.

2. Анализ углов:

   • В прямоугольной трапеции один угол равен 90°. Поскольку угол 120° больше 90°, он должен быть смежным с прямым углом на другой боковой стороне.
   • Следовательно, другой угол на той же боковой стороне будет равен (180° - 120° = 60°).

3. Идентификация элементов трапеции:

   • Пусть (ABCD) — наша трапеция, где (AD \parallel BC), (AD) — большее основание, (BC) — меньшее основание, (AB) и (CD) — боковые стороны.
   • Угол (DAB = 90°), угол (CDA = 120°), угол (BCD = 60°).

4. Использование тригонометрии:

   • В треугольнике (BCD), который образуется боковой стороной (CD) и основанием (BC), мы знаем:
     • (CD = 10) (большая боковая сторона),
     • угол (BCD = 60°).

5. Рассмотрение треугольника (BCD):

   • Используем тригонометрические функции для нахождения (BC) (короткое основание):
     • (\cos(60°) = \frac{BC}{CD} = \frac{BC}{10}).
     • (\cos(60°) = 0.5), значит, (BC = 0.5 \times 10 = 5).

6. Нахождение разности оснований:

   • Поскольку (AD) и (BC) параллельны, разность между длинами оснований (AD) и (BC) равна высоте трапеции.
   • Высота трапеции равна той части боковой стороны (CD), которая перпендикулярна основаниям.
   • Используем (\sin(60°)) для нахождения высоты:
     • (\sin(60°) = \frac{\text{высота}}{CD} = \frac{\text{высота}}{10}).
     • (\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}), значит, высота (h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3}).

7. Итог:

   • Разность длин оснований (AD) и (BC) равна (5\sqrt{3}).

Таким образом, разность длин оснований прямоугольной трапеции равна (5\sqrt{3}).