Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 12 см , она наклонена к плоскости основания...

А) Высота призмы равна половине длины диагонали у основания умноженной на √3, то есть h = (12/2) * √3 = 6√3 см. Б) Сторона основания призмы равна длине диагонали разделенной на √3, то есть a = 12 / √3 = 4√3 см.

Чтобы решить задачу, давайте разберем ее по частям.

Основные данные:

1. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 12 см.
2. Эта диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов.

Анализ:

1. Правильная шестиугольная призма: Поскольку призма правильная, она имеет правильные шестиугольники в основаниях, и боковые грани являются прямоугольниками.
2. Наибольшая диагональ призмы: Это диагональ, которая проходит через две противоположные вершины шестиугольников и соединяет их через всю высоту призмы.

Построение и вычисление:

А) Длина высоты призмы

Пусть ( h ) - высота призмы, а ( a ) - сторона основания (шестиугольника).

Наибольшая диагональ призмы (D) состоит из двух частей:

1. Горизонтальная проекция диагонали ( d ) - это наибольшая диагональ основания (шестиугольника).
2. Вертикальная часть диагонали - высота призмы ( h ).

Из условия, что диагональ наклонена к плоскости основания под углом ( 60^\circ ), мы можем использовать тригонометрию. [ \cos(60^\circ) = \frac{d}{D} ] [ \cos(60^\circ) = \frac{d}{12} ] Так как (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), у нас получается: [ \frac{1}{2} = \frac{d}{12} \implies d = 6 \, \text{см} ]

Теперь используем синус: [ \sin(60^\circ) = \frac{h}{D} ] [ \sin(60^\circ) = \frac{h}{12} ] Так как (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), у нас получается: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12} ] [ h = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см} ]

Б) Длина стороны основания призмы

Наибольшая диагональ (d) правильного шестиугольника равна ( 2a ), где ( a ) - сторона шестиугольника. Мы знаем, что ( d = 6 \, \text{см} ): [ d = 2a ] [ 6 = 2a ] [ a = 3 \, \text{см} ]

Ответы:

А) Длина высоты призмы ( h ) равна ( 6\sqrt{3} \, \text{см} ).

Б) Длина стороны основания шестиугольника ( a ) равна ( 3 \, \text{см} ).

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Поскольку у нас правильная шестиугольная призма, то основание ее является правильным шестиугольником, в котором диагонали равны стороне, умноженной на √3.

А) Для вычисления высоты призмы мы можем разделить диагональ на два равных отрезка - один из них будет являться высотой призмы. Таким образом, длина высоты призмы равна половине длины диагонали, то есть 12 см / 2 = 6 см.

Б) Для вычисления стороны основания призмы мы можем воспользоваться формулой для правильного шестиугольника, в которой сторона равна диагонали, деленной на √3. Таким образом, длина стороны основания призмы равна 12 см / √3 ≈ 6,93 см.