Начертите произвольный треугольник ABC и постройте его образ при повороте вокруг центра C на 60градусов...

При повороте треугольника ABC вокруг точки C на 60 градусов против часовой стрелки, угол между отрезками AB и A1B1 будет равен 60 градусам. Это связано с тем, что при повороте угол между любыми двумя линиями сохраняется и равен углу поворота.

Чтобы ответить на ваш вопрос, разберем задачу по шагам.

Условия задачи:

• Имеется треугольник ( \triangle ABC ) с вершинами ( A, B, C ).
• Выполняется поворот треугольника ( \triangle ABC ) вокруг точки ( C ) на ( 60^\circ ) против часовой стрелки.
• После поворота вершины ( A ) и ( B ) переходят в ( A_1 ) и ( B_1 ) соответственно.
• Требуется определить угол между отрезками ( AB ) и ( A_1B_1 ), если ( AB ) совпадает с ( A_1B_1 ) по направлению.

Анализ задачи:

1. Поворот вокруг точки ( C ): Поворот на ( 60^\circ ) против часовой стрелки означает, что каждая точка ( P ), находящаяся на плоскости, перемещается по окружности, центр которой — точка ( C ).

2. Что происходит с отрезком ( AB ): После поворота отрезок ( AB ), соединяющий точки ( A ) и ( B ), переходит в новый отрезок ( A_1B_1 ). То есть:

   • Точка ( A ) переходит в ( A_1 ),
   • Точка ( B ) переходит в ( B_1 ).

3. Угол между двумя отрезками: Важное свойство поворота — он сохраняет расстояния и углы. Следовательно:

   • Длина отрезка ( AB ) равна длине отрезка ( A_1B_1 ),
   • Угол между направлениями ( AB ) и ( A_1B_1 ) будет равен углу поворота, то есть ( 60^\circ ).

4. Ответ на вопрос: Угол между ( AB ) и ( A_1B_1 ) после поворота на ( 60^\circ ) против часовой стрелки равен ( \mathbf{60^\circ} ).

Графическое объяснение:

Представьте это следующим образом:

• Нарисуйте треугольник ( \triangle ABC ).
• Выберите точку ( C ) как центр поворота.
• Поверните каждую из точек ( A ) и ( B ) на ( 60^\circ ) вокруг ( C ). Для этого можно провести окружности радиусами ( AC ) и ( BC ), чтобы определить новые положения ( A_1 ) и ( B_1 ).
• Угол между векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{A_1B_1} ) будет равен углу поворота, так как поворот сохраняет углы между прямыми.

Вывод:

Угол между отрезком ( AB ) и его образом ( A_1B_1 ) при повороте треугольника ( \triangle ABC ) вокруг точки ( C ) на ( 60^\circ ) против часовой стрелки равен ( 60^\circ ).

Для решения задачи начертим произвольный треугольник ABC. У нас есть вершины A, B и C, и мы будем поворачивать треугольник вокруг точки C на 60 градусов против часовой стрелки.

1. Начертим треугольник ABC:

   • Определим точки A, B и C на плоскости. Положим, что A находится в координатах (x₁, y₁), B в (x₂, y₂), а C в (x₃, y₃).

2. Поворот точки A:

   • Поворот точки A вокруг точки C на угол θ (в нашем случае 60 градусов) можно выполнить с помощью формул поворота: [ A' = C + R(C, A) ] где R(C, A) - это результат поворота точки A относительно C.
   • Для поворота на 60 градусов против часовой стрелки (по часовой стрелке используем отрицательный угол): [ A' = (x_c + (x_a - x_c) \cdot \cos(-60^\circ) - (y_a - y_c) \cdot \sin(-60^\circ), y_c + (x_a - x_c) \cdot \sin(-60^\circ) + (y_a - y_c) \cdot \cos(-60^\circ)) ]
   • Подобные вычисления проведем для точки B, получая точку B'.

3. Нахождение угла между AB и A'B':

   • Угол между двумя прямыми можно найти, используя векторы. Векторы AB и A'B' будут: [ \overrightarrow{AB} = (x_b - x_a, y_b - ya) ] [ \overrightarrow{A'B'} = (x{b'} - x{a'}, y{b'} - y_{a'}) ]
   • Угол θ между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: [ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'B'}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{A'B'}|} ]

4. Угловая разность:

   • Поскольку поворот треугольника на 60 градусов относительно точки C сохраняет угол между сторонами, угол между AB и A'B' будет равен углу поворота, который мы применили. Таким образом, угол между AB и A'B' будет равен 60 градусам.

Таким образом, угол между прямыми AB и A'B' равен 60 градусам.