На стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так,что АК=5 см,Кс=15 см.Найдите площади треугольников...

Для начала найдем длину отрезка ВК. Поскольку треугольник АВК и треугольник СВК имеют общую высоту КС, то площади этих треугольников пропорциональны их основаниям.

Используем правило пропорциональности площадей треугольников:

S(АВК)/S(СВК) = АКВК/КСВК

Так как АК = 5 см, КС = 15 см, а ВК = 12 см + 16 см - 5 см - 15 см = 8 см, получаем:

S(АВК)/S(СВК) = 58/158 = 40/120 = 1/3

Теперь найдем площадь треугольника АВК.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), где p = (a + b + c)/2, а, b, c - стороны треугольника

Для треугольника АВК: p = (12 + 5 + 8)/2 = 25/2 = 12.5

S(АВК) = √(12.5(12.5 - 12)(12.5 - 5)(12.5 - 8)) = √(12.50.57.5*4.5) = √(211.875) ≈ 14.56 см^2

Теперь найдем площадь треугольника СВК:

S(СВК) = S(АВК)/3 = 14.56/3 ≈ 4.85 см^2

Таким образом, площадь треугольника АВК составляет приблизительно 14.56 см^2, а площадь треугольника СВК - приблизительно 4.85 см^2.

Для решения этой задачи, сначала найдем площадь всего треугольника (ABC), а затем разложим его на два треугольника (ABK) и (CBK).

1. Найдем площадь всего треугольника (ABC):

   Сначала используем формулу Герона для нахождения площади треугольника. Формула Герона выглядит так: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, ] где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, а (p) — полупериметр треугольника.

   Для нашего треугольника: [ a = 12 \text{ см} (AB), \quad b = 16 \text{ см} (BC), \quad c = 20 \text{ см} (AC). ]

   Полупериметр треугольника: [ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 16 + 20}{2} = 24 \text{ см}. ]

   Подставляем значения в формулу Герона: [ S_{ABC} = \sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4}. ]

   Упрощаем подкоренное выражение: [ S_{ABC} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4} = \sqrt{9216} = 96 \text{ см}^2. ]

2. Найдем площади треугольников (ABK) и (CBK):

   Точка (K) делит сторону (AC) на два отрезка: (AK = 5 \text{ см}) и (KC = 15 \text{ см}).

   Площадь треугольников (ABK) и (CBK) можно найти, используя отношение длин отрезков (AK) и (KC).

   Площадь треугольника (ABK) пропорциональна длине (AK), а площадь треугольника (CBK) пропорциональна длине (KC). Таким образом, мы можем использовать отношения длин для нахождения площадей:

   [ \frac{S{ABK}}{S{ABC}} = \frac{AK}{AC} \quad \text{и} \quad \frac{S{CBK}}{S{ABC}} = \frac{KC}{AC}. ]

   Подставляем значения: [ \frac{S{ABK}}{96} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad S{ABK} = 96 \cdot \frac{1}{4} = 24 \text{ см}^2. ]

   [ \frac{S{CBK}}{96} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad S{CBK} = 96 \cdot \frac{3}{4} = 72 \text{ см}^2. ]

Итак, площади треугольников (ABK) и (CBK) равны 24 см² и 72 см² соответственно.

Для нахождения площадей треугольников АВК и СВК нужно использовать формулу площади треугольника через стороны и полупериметр. По формуле Герона находим площадь треугольника АВК: S(АВК) = √(p(p-AB)(p-AK)*(p-BK)), где p - полупериметр треугольника АВК, равный (AB + AK + BK) / 2. Аналогично находим площадь треугольника СВК.