На стороне АС данного треугольника АВС постройте точку Д так чтобы площадь треугольника АВД составила...

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников.

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S$, а площадь треугольника $ABD$ равна $S_1$.

Так как отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их сторон, то имеем:

$\frac{S_1}{S} = \left(\frac{AD}{AC}\right)^2$

По условию задачи, $S_1 = \frac{1}{3}S$, следовательно:

$\frac{1}{3}S = \left(\frac{AD}{AC}\right)^2$

$\frac{1}{3} = \left(\frac{AD}{AC}\right)^2$

$\frac{AD}{AC} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, отношение сторон $AD$ и $AC$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Построим треугольник $ABC$ и построим на стороне $AC$ точку $D$ такую, что $AD = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot AC$. Треугольник $ABD$ будет иметь требуемое отношение площадей.

(вставить рисунок)

Таким образом, точка $D$ строится так, чтобы отношение сторон $AD$ и $AC$ было равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для того чтобы решить задачу о построении на стороне AC треугольника ABC точки D так, чтобы площадь треугольника ABD была равна одной трети площади треугольника ABC, можно воспользоваться следующим методом:

1. Основное соображение: Площадь треугольника зависит от длины основания и высоты, опущенной на это основание. Поскольку высота, опущенная на сторону AC, будет одинакова для треугольников ABC и ABD, достаточно сделать так, чтобы отношение основания AD к AC было равно 1/3, чтобы площадь треугольника ABD была 1/3 площади ABC.

2. Построение:

   • Найдите точку D на стороне AC таким образом, чтобы отрезок AD составлял одну треть от всей длины AC. Это можно сделать с помощью линейки (или циркуля, если точность важна).
   • Отметьте точку D так, чтобы длина AD была равна одной трети длины AC.

3. Проверка: После построения точки D, площадь треугольника ABD будет равна: [ \text{Площадь ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}AC \times h = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} \times AC \times h\right) = \frac{1}{3} \text{Площадь ABC}, ] где ( h ) – высота, опущенная на сторону AC.

В данном ответе не приложены визуальные изображения, так как текстовый формат ограничивает возможность вставки рисунков. Для создания рисунка вы можете использовать бумагу и карандаш или специализированные программы для черчения (например, GeoGebra или другие CAD программы).