На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так что AK:KD=1:2. выразить вектор BK через векторы...

Для решения задачи выразим вектор ( \mathbf{BK} ) через векторы ( \mathbf{a} ) (где ( \mathbf{a} = \mathbf{AB} )) и ( \mathbf{b} ) (где ( \mathbf{b} = \mathbf{AD} )).

1. Определим координаты точки K:

   Поскольку точка ( K ) делит отрезок ( AD ) в отношении ( 1:2 ), мы можем использовать параметрическое представление векторов. Точка ( K ) делит ( AD ) в отношении ( 1:2 ), то есть: [ \frac{AK}{KD} = \frac{1}{2} ] Вектор ( \mathbf{AD} ) можно представить как ( \mathbf{b} ).

   Таким образом, положение точки ( K ) можно найти с помощью деления отрезка в заданном отношении. Математически это выражается следующим образом: [ \mathbf{K} = \frac{2\mathbf{A} + 1\mathbf{D}}{3} ] Здесь ( \mathbf{A} ) и ( \mathbf{D} ) — это координаты точек ( A ) и ( D ) соответственно, но в терминах векторов относительно точки ( A ), это будет: [ \mathbf{K} = \frac{2\mathbf{A} + 1(\mathbf{A} + \mathbf{b})}{3} = \frac{2\mathbf{A} + \mathbf{A} + \mathbf{b}}{3} = \mathbf{A} + \frac{\mathbf{b}}{3} ]

2. Найдем вектор ( \mathbf{BK} ):

   Теперь, чтобы найти вектор ( \mathbf{BK} ), используем известные точки ( B ) и ( K ). Вектор от ( B ) к ( K ) можно выразить как: [ \mathbf{BK} = \mathbf{K} - \mathbf{B} ] Вектор ( \mathbf{B} ) в координатах относительно ( A ) представляется как ( \mathbf{A} + \mathbf{a} ).

   Подставляем значения: [ \mathbf{BK} = \left( \mathbf{A} + \frac{\mathbf{b}}{3} \right) - (\mathbf{A} + \mathbf{a}) = \frac{\mathbf{b}}{3} - \mathbf{a} ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{BK} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) выражается как: [ \mathbf{BK} = \frac{\mathbf{b}}{3} - \mathbf{a} ]

Этот результат показывает, как вектор ( \mathbf{BK} ) связан с векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) в данном параллелограмме.

Вектор BK = 2/3 * a + b.

Для выражения вектора BK через векторы a и b, сначала найдем вектор KD, так как AK:KD=1:2. Так как KD = 2AK, то KD = 2/3 AD = 2/3 b. Теперь найдем вектор BK. Вектор BK = BA + AK + KD = -a + AK + KD = -a + 1/3 b. Таким образом, вектор BK = -a + 1/3 b.