На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что AM:MB=4:9.Через точку М провели прямую которая...

Отрезок MK равен 16 см.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках (теоремой Фалеса). Согласно этой теореме, если в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из его сторон и пересекающая две другие стороны, то она отсекает от этих сторон отрезки, пропорциональные соответствующим сторонам.

В данном случае, прямая, проходящая через точку M и параллельная стороне BC, пересекает сторону AC в точке K. Это означает, что отрезок MK будет пропорционален стороне BC.

Дано, что AM:MB = 4:9. Следовательно, AM составляет 4 части, а MB составляет 9 частей из 13 частей общего отрезка AB. Это значит, что точка M делит сторону AB в отношении 4:9.

Поскольку MK параллельна BC, согласно теореме Фалеса, пропорция отрезков на стороне AC будет такой же, как и на стороне AB. То есть, AK:KC = AM:MB = 4:9.

Теперь найдём длину отрезка MK. Поскольку MK параллельна BC, длина MK составит ту же долю от BC, что и AM от AB. То есть:

[ MK = \frac{AM}{AB} \times BC ]

Так как AM:MB = 4:9, то AM составляет (\frac{4}{13}) от AB. Следовательно, длина MK будет равна:

[ MK = \frac{4}{13} \times 26 ]

Теперь произведём вычисления:

[ MK = \frac{4 \times 26}{13} = \frac{104}{13} = 8 ]

Таким образом, длина отрезка MK равна 8 см.

Для начала найдем длину отрезка AM и MB. Поскольку AM:MB=4:9, сумма коэффициентов равна 4+9=13. Таким образом, AM составляет 4/13 от длины отрезка AB, а MB - 9/13 от длины AB.

Так как отрезок BC равен 26 см, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AM, MB и BC: 4/1326 + 9/1326 + 26 = 64 см.

Теперь найдем отношение отрезка AK к отрезку KC. Поскольку прямая, проходящая через точку M, параллельна стороне BC, то отношение AK к KC равно отношению AM к MB, т.е. 4:9.

Таким образом, длина отрезка AK составляет 4/13 от длины AC, а длина отрезка KC - 9/13 от длины AC. Поскольку длина AC равна 64 см (как и было найдено выше), то длина отрезка AK равна 4/1364 = 16 см, а длина отрезка KC равна 9/1364 = 48 см.

Наконец, для нахождения отрезка MK необходимо вычесть длину отрезка AK из длины отрезка AM: MK = AM - AK = 16 - 4 = 12 см. Получаем, что длина отрезка MK равна 12 см.