На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N, так что угол ВМN равен углу BCA....

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой синусов. Обозначим угол ВАС через α. Тогда угол ВМА равен α, а угол СNВ равен 180 - α.

Из теоремы синусов для треугольника ВМА имеем:

sin(α) / MN = sin(γ) / AM,

где γ - угол ВМН. Из условия задачи угол ВМН равен углу BCA, то есть γ = α. Таким образом, sin(γ) = sin(α).

Из теоремы синусов для треугольника СНВ имеем:

sin(180 - α) / MN = sin(β) / BN,

где β - угол ВНС. Из условия задачи угол ВНС равен углу ВАС, то есть β = α. Таким образом, sin(β) = sin(α).

Таким образом, получаем систему уравнений:

sin(α) / MN = sin(α) / AM, sin(α) / MN = sin(α) / BN.

Из условия задачи известны значения сторон треугольника: AC = 28, AB = 21, BN = 15.

Сначала найдем сторону AM. Используем теорему косинусов для треугольника ВАС:

AC^2 = AV^2 + VC^2 - 2 AV VC cos(α), 28^2 = 21^2 + AM^2 - 2 21 AM cos(α).

Далее найдем сторону BN. Используем теорему косинусов для треугольника ВNB:

BN^2 = NV^2 + VB^2 - 2 NV VB cos(β), 15^2 = MN^2 + 21^2 - 2 MN 21 cos(α).

Теперь подставляем найденные значения в уравнения системы и решаем ее. Полученное значение MN будет искомым ответом.

Для решения задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников и теоремой синусов.

1. Рассмотрим углы и треугольники:

   • У нас есть треугольник (ABC) с точками (M) и (N) на сторонах (AB) и (BC) соответственно.
   • Угол (BMN) равен углу (BCA).

2. Построим треугольники:

   • Рассмотрим треугольники (BMN) и (BCA).
   • Поскольку угол (BMN) равен углу (BCA), эти треугольники подобны по одному углу (AA-критерий подобия).

3. Используем свойства подобных треугольников:

   • Если треугольники подобны, то отношения соответствующих сторон равны: [ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{CA} ]

4. Запишем отношения:

   • Пусть (BM = x), тогда (MA = AB - BM = 21 - x).
   • Треугольники (BMN) и (BCA) подобны, значит: [ \frac{x}{21} = \frac{15}{BC} = \frac{MN}{28} ]

5. Найдем (BC):

   • Из подобия треугольников: [ BC = \frac{21 \cdot 15}{x} ]

6. Найдем (MN):

   • Используем отношение: [ MN = \frac{28 \cdot x}{21} ]

7. Выразим (x):

   • Из уравнения: [ \frac{x}{21} = \frac{15}{BC} ]
   • Подставляем (BC) из предыдущего пункта: [ \frac{x}{21} = \frac{15}{\frac{21 \cdot 15}{x}} ]
   • Решаем уравнение: [ x^2 = 21 \cdot 15 \Rightarrow x^2 = 315 \Rightarrow x = \sqrt{315} ]

8. Подставляем (x) для нахождения (MN):

   • Поскольку (x = \sqrt{315}): [ MN = \frac{28 \cdot \sqrt{315}}{21} = \frac{28}{21} \cdot \sqrt{315} = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{315} ]

9. Упростим выражение:

   • (\sqrt{315} = \sqrt{9 \cdot 35} = 3\sqrt{35}) [ MN = \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{35} = 4\sqrt{35} ]

Итак, длина отрезка (MN) равна (4\sqrt{35}).

MN = 12.