На продолжении медианы BM треугольника ABC отмечена точка D так, что BM=MD. Докажите равенство треугольников...

Для доказательства равенства треугольников AMD и CMB воспользуемся тем, что BM = MD и тем, что медиана треугольника делит ее пополам.

Из условия BM = MD следует, что треугольник BMD - равнобедренный, так как BM = MD. Также известно, что медиана треугольника делит противоположный ей отрезок пополам, то есть BD = 2BM.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Так как BD = 2BM, то AM = MB. Таким образом, треугольник AMB также является равнобедренным.

Из равенства AM = MB и BM = MD следует, что треугольники AMD и CMB равны по двум сторонам и углу между ними $уголAMBравенуглуCMD,таккаконивертикальные$.

Таким образом, треугольники AMD и CMB равны, что и требовалось доказать.

Для доказательства равенства треугольников AMD и CMB, воспользуемся следующими шагами:

1. Определение медианы и точки D: Пусть треугольник $ABC$ и $M$ — это точка пересечения медианы $BM$ с противоположной стороной $AC$. Так как $BM$ — медиана, то $AM=MC$.

   Точка $D$ расположена на продолжении медианы $BM$ за точку $M$ так, что $BM=MD$.

2. Рассмотрим треугольники AMD и CMB:

   • Треугольник $AMD$ и треугольник $CMB$ имеют общую сторону $BM$.
   • $BM=MD$ по условию задачи.
   • $AM=MC$, так как $M$ — середина стороны $AC$ $определениемедианы$.

3. Сравнение углов: Обозначим углы при вершине $B$ в треугольниках $\mathrm{\angle }ABM$ и $\mathrm{\angle }CBM$. Эти углы равны, так как $BM$ — общая сторона, и она делит противоположные углы на равные части $таккак(M$ — середина $AC$).

4. Применение признака равенства треугольников: Треугольники $AMD$ и $CMB$ имеют:

   • Стороны $AM$ и $MC$ равны $(AM=MC$).
   • Общую сторону $BM$.
   • Стороны $BM$ и $MD$ равны $(BM=MD$).

   Мы видим, что треугольники $AMD$ и $CMB$ имеют две стороны и угол между ними равными $постороне,углуистороне—признакравенстватреугольниковSAS$.

Таким образом, треугольники $AMD$ и $CMB$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Заключение: Треугольники $AMD$ и $CMB$ равны по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними $SAS$.