На продолжении медианы BM треугольника ABC отмечена точка D так, что BM=MD. Докажите равенство треугольников AMD и CMB.
На продолжении медианы BM треугольника ABC отмечена точка D так, что BM=MD. Докажите равенство треугольников AMD и CMB.
Для доказательства равенства треугольников AMD и CMB воспользуемся тем, что BM = MD и тем, что медиана треугольника делит ее пополам.
Из условия BM = MD следует, что треугольник BMD - равнобедренный, так как BM = MD. Также известно, что медиана треугольника делит противоположный ей отрезок пополам, то есть BD = 2BM.
Теперь рассмотрим треугольник AMB. Так как BD = 2BM, то AM = MB. Таким образом, треугольник AMB также является равнобедренным.
Из равенства AM = MB и BM = MD следует, что треугольники AMD и CMB равны по двум сторонам и углу между ними (угол AMB равен углу CMD, так как они вертикальные).
Таким образом, треугольники AMD и CMB равны, что и требовалось доказать.
Для доказательства равенства треугольников AMD и CMB, воспользуемся следующими шагами:
Определение медианы и точки D: Пусть треугольник ( ABC ) и ( M ) — это точка пересечения медианы ( BM ) с противоположной стороной ( AC ). Так как ( BM ) — медиана, то ( AM = MC ).
Точка ( D ) расположена на продолжении медианы ( BM ) за точку ( M ) так, что ( BM = MD ).
Рассмотрим треугольники AMD и CMB:
Сравнение углов: Обозначим углы при вершине ( B ) в треугольниках ( \angle ABM ) и ( \angle CBM ). Эти углы равны, так как ( BM ) — общая сторона, и она делит противоположные углы на равные части (так как ( M ) — середина ( AC )).
Применение признака равенства треугольников: Треугольники ( AMD ) и ( CMB ) имеют:
Мы видим, что треугольники ( AMD ) и ( CMB ) имеют две стороны и угол между ними равными (по стороне, углу и стороне — признак равенства треугольников SAS).
Таким образом, треугольники ( AMD ) и ( CMB ) равны по двум сторонам и углу между ними.
Заключение: Треугольники ( AMD ) и ( CMB ) равны по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).
