На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что угол ABM = углу CBK,...

Чтобы доказать, что ( AM = CK ), рассмотрим равнобедренный треугольник ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ) и отметим точки ( M ) и ( K ) на основании ( AC ) так, что угол ( \angle ABM = \angle CBK ), и точка ( M ) лежит между точками ( A ) и ( K ).

Доказательство:

1. Обозначения и условия:

   • Пусть ( \angle ABM = \angle CBK = \alpha ).
   • Обозначим ( \angle BAM = \beta ) и ( \angle BCK = \gamma ).
   • Поскольку треугольник ( \triangle ABC ) равнобедренный, то ( AB = BC ) и ( \angle BAC = \angle BCA ).

2. Угол между сторонами треугольника:

   • В треугольнике ( \triangle ABM ), сумма углов: ( \angle ABM + \angle BAM + \angle AMB = 180^\circ ).
   • Подставим значения: ( \alpha + \beta + \angle AMB = 180^\circ ).

   Аналогично в треугольнике ( \triangle CBK ):

   • ( \angle CBK + \angle BCK + \angle CKM = 180^\circ ).
   • Подставим значения: ( \alpha + \gamma + \angle CKM = 180^\circ ).

3. Равенство углов:

   • Из равенств углов следует, что: [ \beta + \angle AMB = \gamma + \angle CKM. ]

4. Равенство отрезков: Рассмотрим углы в треугольниках ( \triangle ABM ) и ( \triangle CBK ):

   • Поскольку ( \alpha ) одинаковы в обоих треугольниках и ( \angle BAM = \angle BCK ), то:
   • ( \triangle ABM \sim \triangle CBK ) по второму признаку подобия (два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника).

5. Соотношение сторон:

   • Из подобия треугольников следует, что: [ \frac{AM}{AB} = \frac{CK}{CB}. ]
   • Поскольку ( AB = BC ) (так как треугольник равнобедренный), то: [ \frac{AM}{AB} = \frac{CK}{AB}. ]
   • Отсюда следует, что ( AM = CK ).

Таким образом, мы показали, что заданные условия приводят к равенству отрезков ( AM = CK ) на основании равнобедренного треугольника ( \triangle ABC ).

Для доказательства того, что AM = CK в равнобедренном треугольнике ABC, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренных треугольников.

Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, то у него равны стороны AB и AC. Также из условия задачи мы знаем, что угол ABM равен углу CBK.

Теперь рассмотрим треугольники ABM и CBK. У них углы ABM и CBK равны, а углы при вершине B равны, так как это равнобедренный треугольник. Таким образом, по признаку равенства треугольников ABM и CBK, мы получаем, что стороны AM и CK равны.

Следовательно, AM = CK, что и требовалось доказать.