На осях координат найдите точки, равноудаленные от концов отрезка AB, если A(-3;5) B(6;4)

Для решения задачи нам необходимо найти точки, которые одинаково удалены от точек A(-3, 5) и B(6, 4). Эти точки лежат на перпендикулярном биссекторе отрезка AB.

1. Определение середины отрезка AB Сначала найдем координаты середины отрезка AB. Середина отрезка с концами в точках ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) определяется как: [ M(x, y) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ] Подставляя координаты точек A и B: [ M(x, y) = \left(\frac{-3 + 6}{2}, \frac{5 + 4}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right) = (1.5, 4.5) ]

2. Уравнение прямой AB Уравнение прямой, проходящей через две точки ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ), можно найти по формуле: [ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} ] Для точек A и B: [ \frac{y - 5}{4 - 5} = \frac{x + 3}{6 + 3} ] Сокращаем и переформулируем: [ y - 5 = \frac{x + 3}{9} ] Умножаем обе стороны на -9: [ -9(y - 5) = x + 3 ] [ -9y + 45 = x + 3 ] [ x = -9y + 42 ]

3. Перпендикулярный биссектор к AB Так как перпендикулярный биссектор пересекает отрезок под прямым углом, его угловой коэффициент будет обратным и противоположным к угловому коэффициенту прямой AB. Угловой коэффициент прямой AB (-\frac{1}{9}), поэтому угловой коэффициент перпендикулярного биссектора будет 9. Уравнение перпендикулярного биссектора, проходящего через точку M(1.5, 4.5): [ y - 4.5 = 9(x - 1.5) ] [ y = 9x - 13.5 + 4.5 ] [ y = 9x - 9 ] Теперь нам нужно найти пересечения этой прямой с осями координат.

4. Пересечение с осью OX (y = 0) [ 0 = 9x - 9 ] [ 9x = 9 ] [ x = 1 ] Точка на оси OX: (1, 0).

5. Пересечение с осью OY (x = 0) [ y = 9 \cdot 0 - 9 ] [ y = -9 ] Точка на оси OY: (0, -9).

Итак, точки на осях координат, равноудаленные от точек A и B, это (1, 0) и (0, -9).

Для нахождения точек, равноудаленных от концов отрезка AB, нужно определить середину отрезка AB, а затем провести перпендикуляр к отрезку AB через эту середину. Точки пересечения этого перпендикуляра с осями координат будут искомыми точками.

Сначала найдем середину отрезка AB: x_m = (x_A + x_B) / 2 y_m = (y_A + y_B) / 2

x_m = (-3 + 6) / 2 = 3/2 = 1.5 y_m = (5 + 4) / 2 = 9 / 2 = 4.5

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты (1.5; 4.5).

Теперь определим уравнение прямой, проходящей через точки A и B: y = kx + b

k = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (4 - 5) / (6 + 3) = -1 / 9 b = y_A - k x_A = 5 - (-1/9) (-3) = 5 + 1/3 = 16/3

Таким образом, уравнение прямой будет: y = -1/9 * x + 16/3

Теперь найдем уравнение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через середину отрезка AB. Угловой коэффициент перпендикуляра будет равен обратному и противоположному угловому коэффициенту прямой: k' = -1 / k = -1 / (-1/9) = 9

Уравнение перпендикуляра: y = 9x + c

Теперь найдем точки пересечения перпендикуляра с осями координат. Подставим координаты середины отрезка AB в уравнение перпендикуляра: 4.5 = 9 * 1.5 + c 4.5 = 13.5 + c c = -9

Таким образом, уравнение перпендикуляра: y = 9x - 9

Точки пересечения с осями координат: Для оси X: 0 = 9x - 9 x = 1

Для оси Y: y = 9*0 - 9 y = -9

Итак, точки, равноудаленные от концов отрезка AB, находятся в точках (1; 0) и (0; -9).