На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадрат с центром в точке...

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом при вершине ( C ). На гипотенузе ( AB ) построен квадрат ( ABPQ ) с центром в точке ( O ). Нам нужно доказать, что отрезок ( CO ) является биссектрисой угла ( \angle ACB ).

Шаг 1: Положение точки ( O ).

Поскольку квадрат ( ABPQ ) построен на гипотенузе ( AB ), его диагонали, ( AP ) и ( BQ ), равны и пересекаются в точке ( O ), которая является их серединой. Также, поскольку диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, ( AO = BO ).

Шаг 2: Положение точки ( C ).

Точка ( C ) лежит на окружности, описанной около треугольника ( ABC ), с диаметром ( AB ). Следовательно, ( \angle ACB = 90^\circ ), так как угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Шаг 3: Векторный анализ.

Рассмотрим вектора ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ). Поскольку ( C ) является вершиной прямого угла, вектора ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ) перпендикулярны: ( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 ).

Шаг 4: Доказательство биссектрисы.

Нам нужно показать, что отрезок ( CO ) делит угол ( \angle ACB ) пополам. Для этого достаточно показать, что векторы ( \vec{CO} ) равномерно разделяют угол между ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ).

Поскольку ( O ) является центром квадрата ( ABPQ ), его координаты ( O(x_o, y_o) ) будут средними арифметическими координат ( A(x_a, y_a) ) и ( B(x_b, y_b) ): [ x_o = \frac{x_a + x_b}{2}, \quad y_o = \frac{y_a + y_b}{2}. ]

Отрезок ( CO ) соединяет точку ( C ) с точкой ( O ), и его направление является средним направлением между векторами ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ), так как ( O ) находится на равных расстояниях от ( A ) и ( B ).

Таким образом, ( \vec{CO} ) равноудалён от векторов ( \vec{CA} ) и ( \vec{CB} ), то есть он делит угол ( \angle ACB ) пополам.

Заключение:

Отрезок ( CO ) является биссектрисой угла ( \angle ACB ) в треугольнике ( \triangle ABC ), так как он равномерно делит угол между векторами, исходящими из точки ( C ) к концам диаметра окружности, описанной около треугольника.

Так как квадрат построен на гипотенузе, то О находится на прямой, проходящей через вершину С прямоугольного треугольника и центр квадрата. Таким образом, угол СОА равен 90 градусам, значит, СО - биссектриса прямого угла.

Для доказательства того, что отрезок CO является биссектрисой прямого угла треугольника ABC, нам необходимо рассмотреть следующие факты:

1. Поскольку квадрат построен на гипотенузе AB, то сторона квадрата, проходящая через точку О, будет параллельна стороне BC треугольника ABC (так как сторона квадрата перпендикулярна гипотенузе).

2. Таким образом, у нас получается два прямоугольных треугольника: AOC и BOC, в которых угол AOC равен углу BOC, поскольку сторона квадрата параллельна стороне BC.

3. Так как углы AOC и BOC равны, то отрезок CO делит прямой угол треугольника ABC пополам, то есть является биссектрисой прямого угла.

Таким образом, мы доказали, что отрезок CO является биссектрисой прямого угла треугольника ABC.